PDF-версии: 
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение
где 
имеет единственное решение.
Решение. Преобразуем выражение, задающее функцию 
При 
выражение 
обращается в нуль, значит, функция при 
не определена. При 
получаем:
При 
исходное уравнение не определено, а при 
имеем 
и тогда
Ровно один отрицательный корень у полученного уравнения может быть в трёх случаях:
— уравнение имеет ровно один корень (
) и этот корень отрицательный;
— уравнение имеет два корня один из которых отрицателен, а второй положителен;
— уравнение имеет два корня один из которых отрицателен, а второй равен нулю.
Рассмотрим эти случаи.
1 случай. Дискриминант равен нулю при
При этом 
то есть 
Условие задачи выполнено.
2 случай. Квадратное уравнение с положительным старшим коэффициентом имеет корни разных знаков тогда и только тогда, когда свободный член отрицателен, то есть в нашем случае при
3 случай. Один из корней равен нулю при 
или при 
Решим уравнение при этих значениях параметра. Если 
то 
то есть 
или 
В этом случае второй корень положителен, значит, условие задачи не выполняется. Если 
то 
откуда или Второй корень отрицателен, условие задачи выполнено.
Объединяя результаты всех случаев, получаем, что уравнение имеет единственное решение при 
и при 
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен верный ответ | 4 |
| С помощью верного рассуждения получены верные значения параметра, но допущен недочет | 3 |
| С помощью верного рассуждения получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, при этом верно выполнены все шаги решения, ИЛИ в решении верно найдены все граничные точки множества значений параметра, но неверно определены промежутки значений | 2 |
| В случае аналитического решения: задача верно сведена к набору решенных уравнений и неравенств с учетом требуемых ограничений, ИЛИ в случае графического решения: задача верно сведена к исследованию взаимного расположения линий (изображены необходимые фигуры, учтены ограничения, указана связь исходной задачи с построенными фигурами) | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 4 |