Тип 17 № 691005 
Планиметрическая задача. Вписанные окружности и треугольники
i
Окружность с центром в точке О вписана в треугольник АВС, пересекает отрезок АО в точке М и касается стороны АВ в точке N. Прямые NM и BO параллельны.
а) Докажите, что треугольник АВС — равнобедренный.
б) Прямая ВО пересекает вписанную окружность в точке L 
Найдите отношение площади четырёхугольника BNML к площади треугольника АВС, если 
Решение. 
а) Луч BO является биссектрисой угла ABC, а луч AO — биссектрисой угла BAC (см. рис.). Пусть 
Тогда 
как угол между касательной и радиусом, проведенным в точку касания, и 
как смежный с углом MNA. Отрезки OM и ON равны как радиусы, поэтому треугольник OMN — равнобедренный, в нем верно:
Из прямоугольного треугольника ANO находим 
поэтому 
Следовательно, 
то есть треугольник ABC — равнобедренный по свойству.
б) Из условия и доказанного в пункте а) следует, что 
Преобразуем, учитывая, что угол с градусной мерой α — острый:
Из пункта а) 
углы ONM и NOB равны как накрест лежащие при пересечении параллельных прямых BL и NM секущей ON, поэтому:
Выразим площадь четырехугольника BNML:
Отрезок AK является биссектрисой равнобедренного треугольника, а потому и его высотой. Следовательно, точка K — середина стороны BC. Запишем выражения длины высоты AK и стороны BC:
Найдем площадь треугольника ABC:
Вычислим искомое отношение:
Ответ: б) 
Критерии проверки:| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Ответ: б) 691005
б) 
PDF-версии: 
