Основанием треугольной пирамиды SABC является равносторонний треугольник АВС со 
а) Докажите, что угол между SE и CD равен 45°.
б) Найдите расстояние между прямыми SE и CD.
Решение. а) Пусть точка M — середина ребра BD. Тогда прямая ME параллельна прямой CD и
Медиана равностороннего треугольника 
поэтому 
По теореме Пифагора в треугольнике SCE:
Применяя теорему Пифагора для треугольников SCM и CMD, получаем:
По теореме косинусов в треугольнике SME:
откуда 
и 
б) Проведем прямую CH параллельно ребру AB, тогда 
Следовательно, прямая CD перпендикулярна плоскости SCH, а потому искомое расстояние равно расстоянию от точки C до прямой SH. По построению 
по теореме Пифагора в треугольнике SCH:
Найдем длину высоту прямоугольного треугольника, проведенную из вершины прямого угла:
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |