РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 13 № 690243 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 514

Классификатор алгебры: Тригонометрические уравнения, решаемые разложением на множители

Методы алгебры: Тригонометрические формулы суммы и разности функций, Введение вспомогательного угла

Уравнения. Тригонометрические уравнения, разложение на множители

а)  Решите уравнение $корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента косинус x минус синус x = 2 косинус 5x.$

б)  Найдите все корни уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .$

Решение. а)  Введем вспомогательный угол, используем формулу разности косинусов:

$корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента косинус x минус синус x = 2 косинус 5x равносильно дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби косинус x минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби синус x = косинус 5x равносильно$
$равносильно косинус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби умножить на косинус x минус синус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби умножить на синус x = косинус 5x равносильно$
$равносильно косинус левая круглая скобка x плюс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби правая круглая скобка минус косинус 5x = 0 равносильно$
$равносильно 2 синус левая круглая скобка 3x плюс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 12 конец дроби правая круглая скобка синус левая круглая скобка 2x минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 12 конец дроби правая круглая скобка = 0 равносильно$
$равносильно совокупность выражений синус левая круглая скобка 3x плюс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 12 конец дроби правая круглая скобка = 0, синус левая круглая скобка 2x минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 12 конец дроби правая круглая скобка = 0 конец совокупности . равносильно$
$равносильно совокупность выражений 3x плюс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 12 конец дроби = Пи k, 2x минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 12 конец дроби = Пи k, конец совокупности . равносильно совокупность выражений x = минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 36 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 3 конец дроби , x = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 24 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 2 конец дроби , конец совокупности . k принадлежит Z .$ $корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента косинус x минус синус x = 2 косинус 5x равносильно$
$равносильно дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби косинус x минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби синус x = косинус 5x равносильно$
$равносильно косинус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби умножить на косинус x минус синус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби умножить на синус x = косинус 5x равносильно$
$равносильно косинус левая круглая скобка x плюс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби правая круглая скобка минус косинус 5x = 0 равносильно$
$равносильно 2 синус левая круглая скобка 3x плюс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 12 конец дроби правая круглая скобка синус левая круглая скобка 2x минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 12 конец дроби правая круглая скобка = 0 равносильно$
$равносильно совокупность выражений синус левая круглая скобка 3x плюс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 12 конец дроби правая круглая скобка = 0, синус левая круглая скобка 2x минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 12 конец дроби правая круглая скобка = 0 конец совокупности . равносильно совокупность выражений 3x плюс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 12 конец дроби = Пи k, 2x минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 12 конец дроби = Пи k, конец совокупности . равносильно$
$равносильно совокупность выражений x = минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 36 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 3 конец дроби , x = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 24 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 2 конец дроби , конец совокупности . k принадлежит Z .$ $корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента косинус x минус синус x = 2 косинус 5x равносильно$
$равносильно дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби косинус x минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби синус x = косинус 5x равносильно$
$равносильно косинус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби умножить на косинус x минус синус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби умножить на синус x = косинус 5x равносильно$
$равносильно косинус левая круглая скобка x плюс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби правая круглая скобка минус косинус 5x = 0 равносильно$
$равносильно 2 синус левая круглая скобка 3x плюс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 12 конец дроби правая круглая скобка синус левая круглая скобка 2x минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 12 конец дроби правая круглая скобка = 0 равносильно$
$равносильно совокупность выражений синус левая круглая скобка 3x плюс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 12 конец дроби правая круглая скобка = 0, синус левая круглая скобка 2x минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 12 конец дроби правая круглая скобка = 0 конец совокупности . равносильно$
$равносильно совокупность выражений 3x плюс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 12 конец дроби = Пи k, 2x минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 12 конец дроби = Пи k, конец совокупности . равносильно$
$равносильно совокупность выражений x = минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 36 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 3 конец дроби , x = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 24 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 2 конец дроби , конец совокупности . k принадлежит Z .$

б)  Корни, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка ,$ отберем при помощи тригонометрической окружности (см. рис.). Подходят числа $минус дробь: числитель: 11 Пи , знаменатель: 24 конец дроби ,$ $минус дробь: числитель: 13 Пи , знаменатель: 36 конец дроби ,$ $минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 36 конец дроби ,$ $дробь: числитель: Пи , знаменатель: 24 конец дроби ,$ $дробь: числитель: 11 Пи , знаменатель: 36 конец дроби .$

Ответ: а)  $левая фигурная скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 36 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 3 конец дроби ; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 24 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 2 конец дроби : k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б)  $минус дробь: числитель: 11 Пи , знаменатель: 24 конец дроби ,$ $минус дробь: числитель: 13 Пи , знаменатель: 36 конец дроби ,$ $минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 36 конец дроби ,$ $дробь: числитель: Пи , знаменатель: 24 конец дроби ,$ $дробь: числитель: 11 Пи , знаменатель: 36 конец дроби .$

Примечание.

Пункт б) можно решить при помощи двойных неравенств. Для первой серии:

$минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби меньше или равно минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 36 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 3 конец дроби меньше или равно дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби равносильно минус дробь: числитель: 17, знаменатель: 36 конец дроби меньше или равно дробь: числитель: k, знаменатель: 3 конец дроби меньше или равно дробь: числитель: 19, знаменатель: 36 конец дроби равносильно$
$равносильно минус дробь: числитель: 17, знаменатель: 12 конец дроби меньше или равно k меньше или равно дробь: числитель: 19, знаменатель: 12 конец дроби \underset k принадлежит Z \mathop равносильно k = минус 1, 0, 1.$

Найденным значениям k соответствуют корни $минус дробь: числитель: 13 Пи , знаменатель: 36 конец дроби ,$ $минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 36 конец дроби ,$ $дробь: числитель: 11 Пи , знаменатель: 36 конец дроби .$ Для второй серии:

$минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби меньше или равно дробь: числитель: Пи , знаменатель: 24 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи n, знаменатель: 2 конец дроби меньше или равно дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби равносильно минус дробь: числитель: 13, знаменатель: 24 конец дроби меньше или равно дробь: числитель: n, знаменатель: 2 конец дроби меньше или равно дробь: числитель: 11, знаменатель: 24 конец дроби равносильно$
$равносильно минус дробь: числитель: 13, знаменатель: 12 конец дроби меньше или равно n меньше или равно дробь: числитель: 11, знаменатель: 12 конец дроби равносильно совокупность выражений n = минус 1, n = 0. конец совокупности .$

Найденным значениям n соответствуют корни $минус дробь: числитель: 11 Пи , знаменатель: 24 конец дроби ,$ $дробь: числитель: Пи , знаменатель: 24 конец дроби .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б)	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	2

690243

а)  $левая фигурная скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 36 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 3 конец дроби ; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 24 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 2 конец дроби : k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б)  $минус дробь: числитель: 11 Пи , знаменатель: 24 конец дроби ,$ $минус дробь: числитель: 13 Пи , знаменатель: 36 конец дроби ,$ $минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 36 конец дроби ,$ $дробь: числитель: Пи , знаменатель: 24 конец дроби ,$ $дробь: числитель: 11 Пи , знаменатель: 36 конец дроби .$

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 514

Классификатор алгебры: Тригонометрические уравнения, решаемые разложением на множители

Методы алгебры: Тригонометрические формулы суммы и разности функций, Введение вспомогательного угла

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	690243	а)  $левая фигурная скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 36 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 3 конец дроби ; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 24 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 2 конец дроби : k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б)  $минус дробь: числитель: 11 Пи , знаменатель: 24 конец дроби ,$ $минус дробь: числитель: 13 Пи , знаменатель: 36 конец дроби ,$ $минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 36 конец дроби ,$ $дробь: числитель: Пи , знаменатель: 24 конец дроби ,$ $дробь: числитель: 11 Пи , знаменатель: 36 конец дроби .$