PDF-версии: 
В последовательности 2, 0, 0, 0, 2, 2, 4, … каждый член, начиная с пятого, равен последней цифре суммы предшествующих четырёх членов.
а) Встретятся ли в этой последовательности еще раз подряд 4 цифры 2, 0, 0, 0?
б) Встретятся ли в ней четыре подряд цифры 0, 0, 8, 2?
Решение. а) Будем рассматривать нашу последовательность как переходы от одной четвёрки к следующей. Например, в начале имеем 2000 → 0002 → 0022 → 0224 → 2248 → 2486 →... и т. д.
Четвёрок конечное число, следующая четвёрка однозначно определена через предыдущую, поэтому начиная с некоторого момента происходит зацикливание. Отсюда, однако, ещё не следует, что 2000 когда-то встретится ещё раз. Контрпример: цикл не содержит четвёрку 2000, но с неё есть путь в этот цикл.
Итак, от четвёрки a,b,c,d мы переходим к четвёрке b,c,d, e, где e равно остатку от деления a+b+c+d на 10.
Теперь пусть у нас есть четвёрка a, b, c, d. Какой может быть предыдущая четвёрка? Пусть это будет x, a, b, c. Тогда d равно остатку от деления x+a+b+c на 10, поэтому x определён однозначно. Следовательно, для каждой четвёрки однозначно определена предыдущая. Поэтому никаких дополнительных "входов" в рассмотренный цикл нет (и рассмотренный контрпример несостоятелен). Следовательно, 2000 уже в цикле и через какое-то время повторится.
б) Пусть четверка 2,0,0,0 встретилась второй раз, тогда перед двойкой стояла 8, перед восьмеркой стоял ноль, перед нулем - еще один ноль. Значит, цифры 0,0,8,2 обязательно встретятся.
Ответ: а) да; б) да.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты. | 4 |
| Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов. | 3 |
| Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов. | 2 |
| Верно получен один из следующих результатов: — пример в п. а; — обоснованное решение п. б; — обоснование в п. в того, что S может принимать все целые значения (отличные от −1 и 1); — обоснование в п. в того, что равенства S = −1 и S = 1 невозможны. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 4 |