РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип Д8 C1 № 689055 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 88

Классификатор алгебры: Тригонометрические уравнения, Тригонометрические уравнения, сводимые к целым на синус или косинус

Уравнения, системы уравнений. Сложные тригонометрические уравнения, исследование ОДЗ

а)  Решите уравнение $левая круглая скобка 1 плюс тангенс в квадрате }x правая круглая скобка синус x минус тангенс в квадрате x плюс 1=0;$

б)  Найдите все корни уравнения на отрезке $левая квадратная скобка минус 3;2 правая квадратная скобка .$

Решение. а)  Последовательно получаем:

$левая круглая скобка 1 плюс тангенс в квадрате }x правая круглая скобка синус x минус тангенс в квадрате x плюс 1=0 равносильно дробь: числитель: синус x, знаменатель: косинус в квадрате x конец дроби минус дробь: числитель: синус в квадрате x, знаменатель: косинус в квадрате x конец дроби плюс 1=0 равносильно$

$дробь: числитель: синус x минус синус в квадрате x плюс косинус в квадрате x, знаменатель: косинус в квадрате x конец дроби =0 равносильно дробь: числитель: синус x минус синус в квадрате x плюс 1 минус синус в квадрате x, знаменатель: косинус в квадрате x конец дроби =0 равносильно$

$равносильно дробь: числитель: 2 синус в квадрате x минус синус x минус 1, знаменатель: косинус в квадрате x конец дроби =0 равносильно система выражений новая строка 2 синус в квадрате x минус синус x минус 1=0 , новая строка косинус x не равно 0 конец системы . равносильно совокупность выражений система выражений синус x =1, косинус x не равно 0, конец системы . система выражений синус x = минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби , косинус x не равно 0 конец системы . конец совокупности . равносильно$ $равносильно дробь: числитель: 2 синус в квадрате x минус синус x минус 1, знаменатель: косинус в квадрате x конец дроби =0 равносильно$
$равносильно система выражений новая строка 2 синус в квадрате x минус синус x минус 1=0 , новая строка косинус x не равно 0 конец системы . равносильно совокупность выражений система выражений синус x =1, косинус x не равно 0, конец системы . система выражений синус x = минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби , косинус x не равно 0 конец системы . конец совокупности . равносильно$

$равносильно синус x= минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби равносильно x= левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка в степени левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс Пи n,n принадлежит Z.$

Система $система выражений новая строка синус x=1 , новая строка косинус x не равно 0 конец системы .$ несовместна, поскольку при $синус x=1$ $косинус x=0.$

б)  Выборку корней сделаем с помощью единичной окружности. Но прежде докажем, что $минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби больше минус 3.$ Действительно, $минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби больше минус 3 равносильно дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби меньше 3 равносильно 5 Пи меньше 18 равносильно Пи меньше 3,6$ (неравенство очевидное). $x_1= минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби ;x_2= минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби .$

Ответ: а) $левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка в степени левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс Пи n,n принадлежит Z;$ б) $минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби ; минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах.	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а, или в пункте б. ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов — пункта а и пункта б.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

689055

а) $левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка в степени левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс Пи n,n принадлежит Z;$ б) $минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби ; минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби .$

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 88

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	689055	а) $левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка в степени левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс Пи n,n принадлежит Z;$ б) $минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби ; минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби .$