Ре­ше­ние. а)  Нет. Если из­вест­но, что S  =  13, то За­ме­тим, что по­сколь­ку n  =  13 или n  =  26. Но сумма 13-⁠ти раз­лич­ных на­ту­раль­ных чисел боль­ше 13.

б)  Все дан­ные n чисел на­ту­раль­ные, по­это­му наи­мень­шее из них боль­ше или равно 1, а по­сколь­ку все эти числа раз­лич­ны (от­ли­ча­ют­ся друг от друга не менее чем на 1), то их сумма S не мень­ше суммы 1 + 2 + 3 + ... + n, то есть Если из­вест­но, что S < 500, то из не­ра­вен­ства сле­ду­ет, что от­ку­да n < 32 (при имеем: ). При имеем: на­ту­раль­ные числа от 1 до 31 (без про­пус­ков) со­став­ля­ют ариф­ме­ти­че­скую про­грес­сию, их ко­ли­че­ство равно 31, а сумма мень­ше 500. Таким об­ра­зом, наи­боль­шее воз­мож­ное зна­че­ние n в пунк­те б) равно 31.

в)  Пусть   — наи­мень­шее из дан­ных n чисел, об­ра­зу­ю­щих ариф­ме­ти­че­скую про­грес­сию, d  — раз­ность этой про­грес­сии. Тогда по из­вест­ной фор­му­ле сумма этих n чисел равна Если из­вест­но, что сумма дан­ных n чисел равна 57, то За­ме­тим, что и n  — один из де­ли­те­лей числа 114.

По­сколь­ку то воз­мож­ные зна­че­ния n  =  3, 6, 19, 38, 57 и 114. Ис­хо­дя из не­ра­вен­ства по­лу­чим, что

При n  =  3 по­лу­ча­ем ра­вен­ство ко­то­рое вы­пол­ня­ют­ся, на­при­мер, при Про­грес­сия 1; 19; 37 со­сто­ит из 3 чле­нов, сумма равна 57.

При n  =  6 по­лу­ча­ем ра­вен­ство ко­то­рое вы­пол­ня­ют­ся при Про­грес­сия 2, 5, 8, 11, 14, 17 со­сто­ит из 6 чле­нов, сумма равна 57.

Ответ: а)  нет; б)  31; в)  3, 6.