PDF-версии: 
В пирамиде ABCD ребра DA, DB и DC попарно перпендикулярны, так что АВ = ВС = АС = 1. На ребрах DA и DC отмечены точки М и N соответственно, причем DM : MA = DN : NC = 2 : 5.
а) Докажите, что пирамида АВСD правильная.
б) Найдите расстояние от точки D до плоскости MNB.
Решение. а) Пусть отрезок DO — высота пирамиды. Тогда прямоугольные треугольники CDO, ADO и BDO равны по гипотенузе и катету. Значит,
то есть точка O — центр правильного треугольника ABC. Отсюда и следует, что пирамида ABCD правильная.
б) Пусть отрезок DH — высота пирамиды DBMN. Выразим объем этой пирамиды двумя способами:
В первой формуле используем, что боковые ребра пирамиды равны, поэтому из прямоугольного треугольника ABD по теореме Пифагора:
а потому
Из равных прямоугольных треугольников BND и BMD получаем
Аналогично из треугольника MDN:
Высоту треугольника BMN также найдем по теореме Пифагора:
Из равенства 
находим:
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |