РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 15 № 685597 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 506

Неравенства. Неравенства рациональные относительно логарифмической функции

Решите неравенство: $логарифм по основанию 5 x плюс логарифм по основанию x дробь: числитель: x, знаменатель: 3 конец дроби меньше или равно дробь: числитель: логарифм по основанию 5 x умножить на левая круглая скобка 2 минус логарифм по основанию 3 x правая круглая скобка , знаменатель: логарифм по основанию 3 x конец дроби .$

Решение. Преобразуем левую часть неравенства:

$логарифм по основанию 5 x плюс логарифм по основанию x дробь: числитель: x, знаменатель: 3 конец дроби = логарифм по основанию 5 x плюс 1 минус логарифм по основанию x 3 = логарифм по основанию 5 x плюс 1 минус дробь: числитель: 1, знаменатель: конец дроби логарифм по основанию 3 x = дробь: числитель: логарифм по основанию 5 x умножить на логарифм по основанию 3 x плюс логарифм по основанию 3 x минус 1, знаменатель: логарифм по основанию 3 x конец дроби .$ $логарифм по основанию 5 x плюс логарифм по основанию x дробь: числитель: x, знаменатель: 3 конец дроби = логарифм по основанию 5 x плюс 1 минус логарифм по основанию x 3 =$
$= логарифм по основанию 5 x плюс 1 минус дробь: числитель: 1, знаменатель: конец дроби логарифм по основанию 3 x = дробь: числитель: логарифм по основанию 5 x умножить на логарифм по основанию 3 x плюс логарифм по основанию 3 x минус 1, знаменатель: логарифм по основанию 3 x конец дроби .$

Перенесём выражение из правой части неравенства в левую часть, приведём к общему знаменателю, сгруппируем, разложим на множители и воспользуемся методом рационализации:

$логарифм по основанию 5 x плюс логарифм по основанию x дробь: числитель: x, знаменатель: 3 конец дроби меньше или равно дробь: числитель: логарифм по основанию 5 x умножить на левая круглая скобка 2 минус логарифм по основанию 3 x правая круглая скобка , знаменатель: логарифм по основанию 3 x конец дроби равносильно дробь: числитель: логарифм по основанию 5 x умножить на логарифм по основанию 3 x плюс логарифм по основанию 3 x минус 1, знаменатель: логарифм по основанию 3 x конец дроби меньше или равно дробь: числитель: 2 логарифм по основанию 5 x минус логарифм по основанию 5 x умножить на логарифм по основанию 3 x, знаменатель: логарифм по основанию 3 x конец дроби равносильно$
$равносильно дробь: числитель: 2 логарифм по основанию 5 x умножить на логарифм по основанию 3 x плюс логарифм по основанию 3 x минус 1 минус 2 логарифм по основанию 5 x , знаменатель: логарифм по основанию 3 x конец дроби меньше или равно 0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: 2 логарифм по основанию 5 x умножить на левая круглая скобка логарифм по основанию 3 x минус 1 правая круглая скобка плюс логарифм по основанию 3 x минус 1 , знаменатель: логарифм по основанию 3 x конец дроби меньше или равно 0 равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка логарифм по основанию 3 x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 2 логарифм по основанию 5 x плюс 1 правая круглая скобка , знаменатель: логарифм по основанию 3 x конец дроби меньше или равно 0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка логарифм по основанию 3 x минус логарифм по основанию 3 3 правая круглая скобка левая круглая скобка логарифм по основанию 5 x минус логарифм по основанию 5 \dfrac1 корень из 5 правая круглая скобка , знаменатель: логарифм по основанию 3 x конец дроби меньше или равно 0 равносильно система выражений дробь: числитель: левая круглая скобка x минус 3 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус \dfrac1 корень из 5 правая круглая скобка , знаменатель: x минус 1 конец дроби меньше или равно 0, x больше 0 конец системы . равносильно совокупность выражений 0 меньше x меньше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: конец дроби корень из 5 ,1 меньше x меньше или равно 3. конец совокупности .$ $логарифм по основанию 5 x плюс логарифм по основанию x дробь: числитель: x, знаменатель: 3 конец дроби меньше или равно дробь: числитель: логарифм по основанию 5 x умножить на левая круглая скобка 2 минус логарифм по основанию 3 x правая круглая скобка , знаменатель: логарифм по основанию 3 x конец дроби равносильно$
$равносильно дробь: числитель: логарифм по основанию 5 x умножить на логарифм по основанию 3 x плюс логарифм по основанию 3 x минус 1, знаменатель: логарифм по основанию 3 x конец дроби меньше или равно дробь: числитель: 2 логарифм по основанию 5 x минус логарифм по основанию 5 x умножить на логарифм по основанию 3 x, знаменатель: логарифм по основанию 3 x конец дроби равносильно$
$равносильно дробь: числитель: 2 логарифм по основанию 5 x умножить на логарифм по основанию 3 x плюс логарифм по основанию 3 x минус 1 минус 2 логарифм по основанию 5 x , знаменатель: логарифм по основанию 3 x конец дроби меньше или равно 0 равносильно дробь: числитель: 2 логарифм по основанию 5 x умножить на левая круглая скобка логарифм по основанию 3 x минус 1 правая круглая скобка плюс логарифм по основанию 3 x минус 1 , знаменатель: логарифм по основанию 3 x конец дроби меньше или равно 0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка логарифм по основанию 3 x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 2 логарифм по основанию 5 x плюс 1 правая круглая скобка , знаменатель: логарифм по основанию 3 x конец дроби меньше или равно 0 равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка логарифм по основанию 3 x минус логарифм по основанию 3 3 правая круглая скобка левая круглая скобка логарифм по основанию 5 x минус логарифм по основанию 5 \dfrac1 корень из 5 правая круглая скобка , знаменатель: логарифм по основанию 3 x конец дроби меньше или равно 0 равносильно$
$равносильно система выражений дробь: числитель: левая круглая скобка x минус 3 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус \dfrac1 корень из 5 правая круглая скобка , знаменатель: x минус 1 конец дроби меньше или равно 0, x больше 0 конец системы . равносильно совокупность выражений 0 меньше x меньше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: конец дроби корень из 5 ,1 меньше x меньше или равно 3. конец совокупности .$ $логарифм по основанию 5 x плюс логарифм по основанию x дробь: числитель: x, знаменатель: 3 конец дроби меньше или равно дробь: числитель: логарифм по основанию 5 x умножить на левая круглая скобка 2 минус логарифм по основанию 3 x правая круглая скобка , знаменатель: логарифм по основанию 3 x конец дроби равносильно$
$равносильно дробь: числитель: логарифм по основанию 5 x умножить на логарифм по основанию 3 x плюс логарифм по основанию 3 x минус 1, знаменатель: логарифм по основанию 3 x конец дроби меньше или равно дробь: числитель: 2 логарифм по основанию 5 x минус логарифм по основанию 5 x умножить на логарифм по основанию 3 x, знаменатель: логарифм по основанию 3 x конец дроби равносильно$
$равносильно дробь: числитель: 2 логарифм по основанию 5 x умножить на логарифм по основанию 3 x плюс логарифм по основанию 3 x минус 1 минус 2 логарифм по основанию 5 x , знаменатель: логарифм по основанию 3 x конец дроби меньше или равно 0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: 2 логарифм по основанию 5 x умножить на левая круглая скобка логарифм по основанию 3 x минус 1 правая круглая скобка плюс логарифм по основанию 3 x минус 1 , знаменатель: логарифм по основанию 3 x конец дроби меньше или равно 0 равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка логарифм по основанию 3 x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 2 логарифм по основанию 5 x плюс 1 правая круглая скобка , знаменатель: логарифм по основанию 3 x конец дроби меньше или равно 0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка логарифм по основанию 3 x минус логарифм по основанию 3 3 правая круглая скобка левая круглая скобка логарифм по основанию 5 x минус логарифм по основанию 5 \dfrac1 корень из 5 правая круглая скобка , знаменатель: логарифм по основанию 3 x конец дроби меньше или равно 0 равносильно$
$равносильно система выражений дробь: числитель: левая круглая скобка x минус 3 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус \dfrac1 корень из 5 правая круглая скобка , знаменатель: x минус 1 конец дроби меньше или равно 0, x больше 0 конец системы . равносильно совокупность выражений 0 меньше x меньше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: конец дроби корень из 5 ,1 меньше x меньше или равно 3. конец совокупности .$ $логарифм по основанию 5 x плюс логарифм по основанию x дробь: числитель: x, знаменатель: 3 конец дроби меньше или равно дробь: числитель: логарифм по основанию 5 x умножить на левая круглая скобка 2 минус логарифм по основанию 3 x правая круглая скобка , знаменатель: логарифм по основанию 3 x конец дроби равносильно$
$равносильно дробь: числитель: логарифм по основанию 5 x умножить на логарифм по основанию 3 x плюс логарифм по основанию 3 x минус 1, знаменатель: логарифм по основанию 3 x конец дроби меньше или равно дробь: числитель: 2 логарифм по основанию 5 x минус логарифм по основанию 5 x умножить на логарифм по основанию 3 x, знаменатель: логарифм по основанию 3 x конец дроби равносильно$
$равносильно дробь: числитель: 2 логарифм по основанию 5 x умножить на логарифм по основанию 3 x плюс логарифм по основанию 3 x минус 1 минус 2 логарифм по основанию 5 x , знаменатель: логарифм по основанию 3 x конец дроби меньше или равно 0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: 2 логарифм по основанию 5 x умножить на левая круглая скобка логарифм по основанию 3 x минус 1 правая круглая скобка плюс логарифм по основанию 3 x минус 1 , знаменатель: логарифм по основанию 3 x конец дроби меньше или равно 0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка логарифм по основанию 3 x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 2 логарифм по основанию 5 x плюс 1 правая круглая скобка , знаменатель: логарифм по основанию 3 x конец дроби меньше или равно 0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка логарифм по основанию 3 x минус логарифм по основанию 3 3 правая круглая скобка левая круглая скобка логарифм по основанию 5 x минус логарифм по основанию 5 \dfrac1 корень из 5 правая круглая скобка , знаменатель: логарифм по основанию 3 x конец дроби меньше или равно 0 равносильно$
$равносильно система выражений дробь: числитель: левая круглая скобка x минус 3 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус \dfrac1 корень из 5 правая круглая скобка , знаменатель: x минус 1 конец дроби меньше или равно 0, x больше 0 конец системы . равносильно совокупность выражений 0 меньше x меньше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: конец дроби корень из 5 ,1 меньше x меньше или равно 3. конец совокупности .$

Ответ: $левая круглая скобка 0; дробь: числитель: 1, знаменатель: конец дроби корень из 5 правая квадратная скобка \cup левая круглая скобка 1; 3 правая квадратная скобка .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	2
Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек, ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

685597

$левая круглая скобка 0; дробь: числитель: 1, знаменатель: конец дроби корень из 5 правая квадратная скобка \cup левая круглая скобка 1; 3 правая квадратная скобка .$

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 506

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	685597	$левая круглая скобка 0; дробь: числитель: 1, знаменатель: конец дроби корень из 5 правая квадратная скобка \cup левая круглая скобка 1; 3 правая квадратная скобка .$