Ре­ше­ние. а)  Плос­ко­сти AKC и BMC пе­ре­се­ка­ют­ся по пря­мой PC. Тре­уголь­ни­ки MPC и KPC равны по трем сто­ро­нам, а по­то­му если от­ре­зок MH  — вы­со­та тре­уголь­ни­ка MPC, то от­ре­зок KH  — вы­со­та тре­уголь­ни­ка KPC. Для до­ка­за­тель­ства пер­пен­ди­ку­ляр­но­сти плос­ко­стей AKC и BMC до­ста­точ­но до­ка­зать, что угол MHK  — пря­мой. Пусть пря­мая SO  — вы­со­та пи­ра­ми­ды и AO  =  2x. Тогда а по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра в тре­уголь­ни­ке AOS:

От­ре­зок AO яв­ля­ет­ся ра­ди­у­сом опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка ABC окруж­но­сти, по­это­му Пусть точка N  — се­ре­ди­на ребра AB, тогда по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра в тре­уголь­ни­ке CNB:

Луч CN  — бис­сек­три­са угла C тре­уголь­ни­ка SCN, по­сколь­ку она делит про­ти­во­по­лож­ную сто­ро­ну на про­пор­ци­о­наль­ные при­ле­жа­щим сто­ро­нам части: По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра в тре­уголь­ни­ке SNB:

Сле­до­ва­тель­но, и Квад­рат длины бис­сек­три­сы угла тре­уголь­ни­ка равен раз­но­сти про­из­ве­де­ния об­ра­зу­ю­щих его сто­рон и про­из­ве­де­ния от­рез­ков, на ко­то­рые бис­сек­три­са делит тре­тью сто­ро­ну тре­уголь­ни­ка:

Най­дем длину ме­ди­а­ны AK:

а по­то­му

Пусть По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра из тре­уголь­ни­ков PKH и CKH на­хо­дим:

Тогда:

сле­до­ва­тель­но,

От­ре­зок MK  — сред­няя линия тре­уголь­ни­ка SAB, по­это­му

Таким об­ра­зом,

то есть тре­уголь­ник KMH  — пря­мо­уголь­ный, по тео­ре­ме, об­рат­ной тео­ре­ме Пи­фа­го­ра.

б)  Рас­смот­рим пи­ра­ми­ды ABCS и MPKC. Они имеют общую вы­со­ту, опу­щен­ную из вер­ши­ны C, по­это­му их объ­е­мы от­но­сят­ся как пло­ща­ди ос­но­ва­ний. Кроме того, пло­ща­ди тре­уголь­ни­ков с рав­ны­ми вы­со­та­ми от­но­сят­ся как длины сто­рон, к ко­то­рым эти вы­со­ты про­ве­де­ны, то есть:

Итак,

а по­то­му

Ответ: б)  1.

При­ме­ча­ние.

Ра­вен­ство обо­зна­ча­ет то, что вы­со­та KH пе­ре­се­ка­ет пря­мую CP при ее про­дол­же­нии за точку P.