PDF-версии: 
Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений
имеет ровно два различных решения.
Решение. При 
система несовместна. При 
второе уравнение задает на плоскости окружность радиуса 
с центром в начале координат. Первое уравнение, с учетом второго, можно записать в виде 
Это уравнение прямой, поэтому для существования двух решений требуется, чтобы она пересекала окружность 
в двух точках. Это произойдет в том случае, когда расстояние от начала координат до этой прямой будет меньше радиуса окружности.
Расстояние от начала координат до прямой находится по формуле: 
Следовательно, условие задачи выполнено тогда и только тогда, когда
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен верный ответ | 4 |
| С помощью верного рассуждения получены верные значения параметра, но допущен недочет | 3 |
| С помощью верного рассуждения получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, при этом верно выполнены все шаги решения, ИЛИ в решении верно найдены все граничные точки множества значений параметра, но неверно определены промежутки значений | 2 |
| В случае аналитического решения: задача верно сведена к набору решенных уравнений и неравенств с учетом требуемых ограничений, ИЛИ в случае графического решения: задача верно сведена к исследованию взаимного расположения линий (изображены необходимые фигуры, учтены ограничения, указана связь исходной задачи с построенными фигурами) | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 4 |