PDF-версии: 
В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известно, что AD = 2AA1, AB = 3AA1. Плоскость α проходит через вершины A и C1 и пересекает ребро CD в точке N такой, что CN = 2ND.
а) Докажите, что плоскость α делит ребро A1B1 в отношении 2 : 1.
б) Найдите площадь сечения параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 плоскостью α, если AA1 = 1.
Решение. а) Плоскость α пересекает параллельные плоскости по параллельным прямым. Пусть эта плоскость пересекается с прямой A1B1 в точке M. Тогда прямая AM параллельная прямой NC1, а прямая MC1 — прямой AN, то есть четырехугольник AMC1N — параллелограмм. Следовательно,
а значит, треугольники AA1M и C1CN равны по катету и гипотенузе. Таким образом, 
откуда следует, 
б) Из условия следует, что 
Из прямоугольных треугольников ADN и CNN1 по теореме Пифагора соответственно получаем:
то есть четырехугольник AMC1N — ромб по определению. Диагональ параллелепипеда равна
По теореме косинусов в треугольнике ANC1:
а тогда 
Находим:
а этот четырехугольник и является сечением параллелепипеда плоскостью α.
Ответ: 
Приведем решение Александра Турбанова (Липецк).
а) Пусть 
тогда 
Введем прямоугольную систему координат, как показано на рисунке. В этой системе координат: 
Уравнение плоскости α имеет вид 
где 
поскольку плоскость не проходит через начало координат. Подставляя координаты точек A, C1 и N, находим:
Полагая 
получаем уравнение плоскости α: 
Плоскость α пересекает ребро 
в точке 
Подставим координаты этой точки в уравнение плоскости: 
откуда 
Следовательно, плоскость α делит ребро A1B1 в отношении 2 : 1.
б) Сечение параллелепипеда плоскостью α есть четырехугольник AMC1N — параллелограмм по определению. Его площадь равна модулю векторного произведения векторов 
и 
на которых он построен. Находим:
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |