РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 13 № 681212 Добавить в вариант

Источник: Задания 13 ЕГЭ–2025

Уравнения. Тригонометрические уравнения, разложение на множители

а)  Решите уравнение $2 косинус левая круглая скобка 2 Пи плюс 2 x правая круглая скобка минус 2 минус корень из: начало аргумента: 8 конец аргумента синус x = корень из: начало аргумента: 6 конец аргумента плюс корень из: начало аргумента: 12 конец аргумента синус x.$

б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .$

Решение.

Это задание ещё не решено, приводим решение прототипа.

a)  Решите уравнение $2 косинус левая круглая скобка 2 Пи плюс 2 x правая круглая скобка минус 2 плюс корень из: начало аргумента: 8 конец аргумента синус x= минус корень из: начало аргумента: 6 конец аргумента плюс корень из: начало аргумента: 12 конец аргумента синус x.$

б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка 0 ; дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .$

а)  Используя периодичность косинуса и формулу косинуса двойного угла, получим:

$2 косинус левая круглая скобка 2 Пи плюс 2 x правая круглая скобка минус 2 плюс корень из: начало аргумента: 8 конец аргумента синус x= минус корень из: начало аргумента: 6 конец аргумента плюс корень из: начало аргумента: 12 конец аргумента синус x равносильно 2 косинус 2x минус 2 плюс корень из: начало аргумента: 8 конец аргумента синус x= минус корень из: начало аргумента: 6 конец аргумента плюс корень из: начало аргумента: 12 конец аргумента синус x равносильно$
$равносильно 2 минус 4 синус в квадрате x минус 2 плюс корень из: начало аргумента: 8 конец аргумента синус x минус корень из: начало аргумента: 12 конец аргумента синус x плюс корень из: начало аргумента: 6 конец аргумента = 0 равносильно$
$равносильно 4 синус в квадрате x минус 2 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента синус x плюс 2 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента синус x минус корень из: начало аргумента: 6 конец аргумента = 0 равносильно 2 синус x левая круглая скобка 2 синус x минус корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента правая круглая скобка плюс корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента левая круглая скобка 2 синус x минус корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента правая круглая скобка = 0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка 2 синус x минус корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента правая круглая скобка левая круглая скобка 2 синус x плюс корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента правая круглая скобка = 0 равносильно совокупность выражений синус x = минус дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби , синус x = дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби конец совокупности . равносильно совокупность выражений x = минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k, x = минус дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k , x = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k, x = дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k, конец совокупности . k принадлежит Z .$ $2 косинус левая круглая скобка 2 Пи плюс 2 x правая круглая скобка минус 2 плюс корень из: начало аргумента: 8 конец аргумента синус x= минус корень из: начало аргумента: 6 конец аргумента плюс корень из: начало аргумента: 12 конец аргумента синус x равносильно$
$равносильно 2 косинус 2x минус 2 плюс корень из: начало аргумента: 8 конец аргумента синус x= минус корень из: начало аргумента: 6 конец аргумента плюс корень из: начало аргумента: 12 конец аргумента синус x равносильно$
$равносильно 2 минус 4 синус в квадрате x минус 2 плюс корень из: начало аргумента: 8 конец аргумента синус x минус корень из: начало аргумента: 12 конец аргумента синус x плюс корень из: начало аргумента: 6 конец аргумента = 0 равносильно$
$равносильно 4 синус в квадрате x минус 2 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента синус x плюс 2 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента синус x минус корень из: начало аргумента: 6 конец аргумента = 0 равносильно$
$равносильно 2 синус x левая круглая скобка 2 синус x минус корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента правая круглая скобка плюс корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента левая круглая скобка 2 синус x минус корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента правая круглая скобка = 0 равносильно левая круглая скобка 2 синус x минус корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента правая круглая скобка левая круглая скобка 2 синус x плюс корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента правая круглая скобка = 0 равносильно$
$равносильно совокупность выражений синус x = минус дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби , синус x = дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби конец совокупности . равносильно совокупность выражений x = минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k, x = минус дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k , x = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k, x = дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k, конец совокупности . k принадлежит Z .$ $2 косинус левая круглая скобка 2 Пи плюс 2 x правая круглая скобка минус 2 плюс корень из: начало аргумента: 8 конец аргумента синус x= минус корень из: начало аргумента: 6 конец аргумента плюс корень из: начало аргумента: 12 конец аргумента синус x равносильно$
$равносильно 2 косинус 2x минус 2 плюс корень из: начало аргумента: 8 конец аргумента синус x= минус корень из: начало аргумента: 6 конец аргумента плюс корень из: начало аргумента: 12 конец аргумента синус x равносильно$
$равносильно 2 минус 4 синус в квадрате x минус 2 плюс корень из: начало аргумента: 8 конец аргумента синус x минус корень из: начало аргумента: 12 конец аргумента синус x плюс корень из: начало аргумента: 6 конец аргумента = 0 равносильно$
$равносильно 4 синус в квадрате x минус 2 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента синус x плюс 2 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента синус x минус корень из: начало аргумента: 6 конец аргумента = 0 равносильно$
$равносильно 2 синус x левая круглая скобка 2 синус x минус корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента правая круглая скобка плюс корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента левая круглая скобка 2 синус x минус корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента правая круглая скобка = 0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка 2 синус x минус корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента правая круглая скобка левая круглая скобка 2 синус x плюс корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента правая круглая скобка = 0 равносильно$
$равносильно совокупность выражений синус x = минус дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби , синус x = дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби конец совокупности . равносильно совокупность выражений x = минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k, x = минус дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k , x = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k, x = дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k, конец совокупности . k принадлежит Z .$

б)  Отберем корни при помощи единичной окружности (см. рис.). Отрезку принадлежат числа  $дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби ,$ $дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 4 конец дроби ,$ $дробь: числитель: 4 Пи , знаменатель: 3 конец дроби .$

Ответ: а)   $левая фигурная скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k; минус дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k; дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k : k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б)   $дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби ,$ $дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 4 конец дроби ,$ $дробь: числитель: 4 Пи , знаменатель: 3 конец дроби .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б)	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	2

Ответ: а)  $левая фигурная скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k; минус дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k; минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k; минус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k : k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б)  $минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби ,$ $минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби .$

681212

а)  $левая фигурная скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k; минус дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k; минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k; минус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k : k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б)  $минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби ,$ $минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби .$

Источник: Задания 13 ЕГЭ–2025

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	681212	а)  $левая фигурная скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k; минус дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k; минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k; минус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k : k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б)  $минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби ,$ $минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби .$