РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 14 № 681137 Добавить в вариант

Источники:

ЕГЭ — 2018. Основная волна 01.06.2018. Вариант 402 (часть 2);

Задания 14 (С2) ЕГЭ 2018;

ЕГЭ−2025. Основная волна 26.05.2025.

Стереометрическая задача. Круглые тела: цилиндр, конус, шар

В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки $A,B и C ,$ а на окружности другого основания  — точка $C_1,$ причём $CC_1$   — образующая цилиндра, а AC   — диаметр основания. Известно, что $\angleACB=45 градусов,$ $AB=2 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента ,CC_1=4.$

а)  Докажите,что угол между прямыми $AC_1$ и BC равен $60 градусов.$

б)  Найдите объём цилиндра.

Решение.

а)  Пусть $BB_1$   — образующая цилиндра. Тогда $BB_1C_1C$   — прямоугольник, поэтому угол между прямыми $AC_1$ и $BС$ равен углу $AC_1B_1.$

Угол ABC опирается на диаметр основания цилиндра, поэтому он прямой. Значит, прямая $B_1C_1,$ параллельная прямой BC, перпендикулярная прямым AB и $BB_1.$ Таким образом, прямая $B_1С_1$ перпендикулярна плоскости $ABB_1,$ а значит, угол $AB_1C_1$ прямой.

В прямоугольном треугольнике $АB_1C_1$ :

$B_1C_1=BC=AB=2 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента , AB_1= корень из: начало аргумента: AB в квадрате плюс BB_1 в квадрате конец аргумента = корень из: начало аргумента: AB в квадрате плюс CC_1 в квадрате конец аргумента =2 корень из: начало аргумента: 6 конец аргумента .$

Значит, $\angleAC_1B_1=60 градусов.$

б)  Отрезок AC является диаметром основания цилиндра. Значит, площадь основания цилиндра равна

$дробь: числитель: Пи умножить на AC в квадрате , знаменатель: 4 конец дроби = дробь: числитель: Пи умножить на AB в квадрате , знаменатель: 2 конец дроби =4 Пи .$

Следовательно, объём цилиндра равен $4 Пи умножить на BB_1=16 Пи .$

Ответ: б) $16 Пи$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3
Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки	2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше	0
Максимальный балл	3

Источники:

ЕГЭ — 2018. Основная волна 01.06.2018. Вариант 402 (часть 2);

Задания 14 (С2) ЕГЭ 2018;

ЕГЭ−2025. Основная волна 26.05.2025.

Ключ