PDF-версии: 
В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания AB равна 8, а боковое ребро SA равно 5. На рёбрах AB и SC отмечены точки L и N соответственно, причём AL : LB = SN : NC = 1 : 3. Плоскость α содержит прямую LN и параллельна прямой BC.
а) Докажите, что плоскость α параллельна прямой SA.
б) Найдите угол между плоскостями α и SBC.
Решение.
Это задание ещё не решено, приводим решение прототипа.
В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания AB равна 6, а боковое ребро SA равно 7. На рёбрах AB и SC отмечены точки К и М соответственно, причём 
Плоскость α содержит прямую КМ и параллельна прямой BC.
а) Докажите, что плоскость α параллельна прямой SA.
б) Найдите угол между плоскостями α и SBC. а) Через точки K и M в плоскостях ABC и SBC проведем прямые KL и MN, соответственно, параллельные прямой BC, K и N — точки пересечения этих прямых с ребрами AB и SB, соответственно. Указанные прямые лежат в плоскости α, и четырехугольник KLMN — сечение пирамиды этой плоскостью. Так как отрезок KL параллелен стороне BC, то по теореме Фалеса
AL : LC = AK : KB = SM : MC,
следовательно, по теореме, обратной теореме Фалеса, отрезки ML и SA параллельны. Таким образом, плоскость α параллельна стороне SA.
б) Пусть плоскости SBC и α пересекаются по прямой MN. Обозначим T — середину стороны BC, P — точку пересечения отрезков AT и KL, Q — точку пересечения отрезков ST и MN. Заметим, что прямые ST и AT перпендикулярны прямой BC как медианы равнобедренных треугольников. Следовательно, отрезок PQ перпендикулярен стороне BC по теореме о трех перпендикулярах. Таким образом, отрезок QT перпендикулярен отрезку MN. Отрезок PQ перпендикулярен отрезку MN, так как отрезок MN параллелен стороне BC. Следовательно, угол между плоскостями α и SBC равен углу PQT.
Заметим, что прямая PQ лежит в плоскости SAT и, следовательно, параллельна прямой SA, а потому 
Тогда:
Запишем теорему косинусов для треугольника SAT:
Таким образом, угол между плоскостями α и SAB равен 
Ответ: б)
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
