РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 18 № 680578 Добавить в вариант

Классификатор алгебры: Уравнения с параметром

Методы алгебры: Перебор случаев

Задача с параметром. Аналитическое решение уравнений и неравенств

Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение

имеет единственное решение.

Решение. Преобразуем уравнение:

$9 в степени x минус 3 в степени x умножить на левая круглая скобка 4 в степени a плюс 4 правая круглая скобка =3 в степени x умножить на левая круглая скобка 16 минус 2 в степени a правая круглая скобка плюс левая круглая скобка 4 в степени a плюс 4 правая круглая скобка левая круглая скобка 2 в степени a минус 16 правая круглая скобка равносильно$
$равносильно 9 в степени x минус 3 в степени x умножить на левая круглая скобка 4 в степени a плюс 4 правая круглая скобка минус 3 в степени x умножить на левая круглая скобка 16 минус 2 в степени a правая круглая скобка минус левая круглая скобка 4 в степени a плюс 4 правая круглая скобка левая круглая скобка 2 в степени a минус 16 правая круглая скобка =0 равносильно$
$равносильно 9 в степени x минус 3 в степени x умножить на левая круглая скобка левая круглая скобка 4 в степени a плюс 4 правая круглая скобка плюс левая круглая скобка 16 минус 2 в степени a правая круглая скобка правая круглая скобка плюс левая круглая скобка 4 в степени a плюс 4 правая круглая скобка левая круглая скобка 16 минус 2 в степени a правая круглая скобка =0,$

откуда $3 в степени x = 4 в степени a плюс 4$ или $3 в степени x = 16 минус 2 в степени a .$

Уравнение $3 в степени x =4 в степени a плюс 4$ при любом значении a имеет один корень. Значит, исходное уравнение имеет единственное решение в одном из двух случаев:

—  уравнение $3 в степени x = 16 минус 2 в степени a$ корней не имеет;

—  корни уравнений $3 в степени x = 4 в степени a плюс 4$ и $3 в степени x = 16 минус 2 в степени a$ равны.

Уравнение $3 в степени x =16 минус 2 в степени a$ не имеет корней при $16 минус 2 в степени a меньше или равно 0$ или $a больше или равно 4.$ Уравнения $3 в степени x =4 в степени a плюс 4$ и $3 в степени x =16 минус 2 в степени a$ имеют равные корни при

$4 в степени a плюс 4=16 минус 2 в степени a равносильно 4 в степени a плюс 2 в степени a минус 12=0 равносильно 2 в степени a =3 равносильно a= логарифм по основанию 2 3.$

Ответ: $левая фигурная скобка логарифм по основанию 2 3 правая фигурная скобка \cup левая квадратная скобка 4; плюс бесконечность правая круглая скобка .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	4
С помощью верного рассуждения получены верные значения параметра, но допущен недочет	3
С помощью верного рассуждения получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, при этом верно выполнены все шаги решения, ИЛИ в решении верно найдены все граничные точки множества значений параметра, но неверно определены промежутки значений	2
В случае аналитического решения: задача верно сведена к набору решенных уравнений и неравенств с учетом требуемых ограничений, ИЛИ в случае графического решения: задача верно сведена к исследованию взаимного расположения линий (изображены необходимые фигуры, учтены ограничения, указана связь исходной задачи с построенными фигурами)	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	4

680578

$левая фигурная скобка логарифм по основанию 2 3 правая фигурная скобка \cup левая квадратная скобка 4; плюс бесконечность правая круглая скобка .$

Классификатор алгебры: Уравнения с параметром

Методы алгебры: Перебор случаев

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	680578	$левая фигурная скобка логарифм по основанию 2 3 правая фигурная скобка \cup левая квадратная скобка 4; плюс бесконечность правая круглая скобка .$