PDF-версии: 
На окружности отмечены точки A, B, C и D так, что AB = BD, 
а) Докажите, что DM = BC, если BM — диаметр окружности.
б) Найдите площадь четырехугольника ABCD, если радиус окружности равен 4, а точка пересечения диагоналей AC и BD делит AC в отношении 1 : 3, считая от вершины C.
Решение. а) Из условия
следует, что отрезок AC — диаметр. Пусть точка O — центр окружности. Равные дуги стягиваются равными хордами, поэтому 
Угол BDM — прямой, поскольку опирается на диаметр. Тогда
то есть у двух прямых BM и CD при секущей BD накрест лежащие углы равны. Следовательно, эти прямые параллельны, а четырехугольник MBCD — вписанная, а потому равнобокая трапеция. Таким образом, 
б) Пусть диагонали AC и BD пересекаются в точке K. Из условия 
Треугольники OBK и CDK равны: отрезки OK и KC равны, углы 
как вертикальные, углы 
как накрест лежащие при пересечении параллельных прямых BM и CD секущей AC. Тогда 
как соответствующие элементы равных фигур. Из параллельности и равенства отрезков OB и CD следует, что четырехугольник OBCD — параллелограмм. Значит, 
В треугольнике ABC по теореме Пифагора:
Аналогично из прямоугольного треугольника ADC 
Следовательно, параллелограмм ABCD составлен из двух равных по трем сторонам треугольников, откуда
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |