РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 13 № 676933 Добавить в вариант

Классификатор алгебры: Уравнения смешанного типа, Иррациональные уравнения, Тригонометрические уравнения и неравенства

Уравнения. Тригонометрия и иррациональности

а)  Решите уравнение $корень из: начало аргумента: 1 плюс синус дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби умножить на косинус дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби конец аргумента = синус левая круглая скобка дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби минус x правая круглая скобка .$

б)   Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; 4 Пи правая квадратная скобка .$

Решение. а)  По формулам приведения $синус левая круглая скобка дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби минус x правая круглая скобка = минус косинус x,$ откуда находим:

$корень из: начало аргумента: 1 плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби синус x конец аргумента = минус косинус x равносильно система выражений косинус x меньше или равно 0, 1 плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби синус x = косинус в квадрате x конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений косинус x меньше или равно 0, 2 плюс синус x = 2 минус 2 синус в квадрате x конец системы . равносильно система выражений косинус x меньше или равно 0, 2 синус в квадрате x плюс синус x = 0 конец системы . равносильно система выражений косинус x меньше или равно 0, совокупность выражений синус x = 0, синус x = минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби конец системы . конец совокупности . равносильно$
$равносильно система выражений косинус x меньше или равно 0, совокупность выражений x = Пи k, x = минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи n, x = минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи m конец системы . конец совокупности . равносильно совокупность выражений x = Пи плюс 2 Пи k, x = минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи m, конец совокупности . k, m принадлежит Z .$ $корень из: начало аргумента: 1 плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби синус x конец аргумента = минус косинус x равносильно система выражений косинус x меньше или равно 0, 1 плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби синус x = косинус в квадрате x конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений косинус x меньше или равно 0, 2 плюс синус x = 2 минус 2 синус в квадрате x конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений косинус x меньше или равно 0, 2 синус в квадрате x плюс синус x = 0 конец системы . равносильно система выражений косинус x меньше или равно 0, совокупность выражений синус x = 0, синус x = минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби конец системы . конец совокупности . равносильно$
$равносильно система выражений косинус x меньше или равно 0, совокупность выражений x = Пи k, x = минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи n, x = минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи m конец системы . конец совокупности . равносильно совокупность выражений x = Пи плюс 2 Пи k, x = минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи m, конец совокупности . k, m принадлежит Z .$ $корень из: начало аргумента: 1 плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби синус x конец аргумента = минус косинус x равносильно система выражений косинус x меньше или равно 0, 1 плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби синус x = косинус в квадрате x конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений косинус x меньше или равно 0, 2 плюс синус x = 2 минус 2 синус в квадрате x конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений косинус x меньше или равно 0, 2 синус в квадрате x плюс синус x = 0 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений косинус x меньше или равно 0, совокупность выражений синус x = 0, синус x = минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби конец системы . конец совокупности . равносильно система выражений косинус x меньше или равно 0, совокупность выражений x = Пи k, x = минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи n, x = минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи m конец системы . конец совокупности . равносильно$
$равносильно совокупность выражений x = Пи плюс 2 Пи k, x = минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи m, конец совокупности . k, m принадлежит Z .$

б)  Отберем корни при помощи двойных неравенств. Для первой серии корней получаем:

$дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 2 конец дроби меньше или равно Пи плюс 2 Пи k меньше или равно 4 Пи равносильно дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби меньше или равно k меньше или равно дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби \underset k принадлежит Z \mathop равносильно k = 1.$

Найденному значению k соответствует корень  $3 Пи .$ Рассмотрим вторую серию корней:

$дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 2 конец дроби меньше или равно минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи m меньше или равно 4 Пи равносильно целая часть: 1, дробная часть: числитель: 2, знаменатель: 3 меньше или равно m меньше или равно целая часть: 2, дробная часть: числитель: 5, знаменатель: 12 \underset m принадлежит Z \mathop равносильно m = 2.$

Найденному значению m соответствует корень  $дробь: числитель: 19 Пи , знаменатель: 6 конец дроби .$

Ответ: а)  $левая фигурная скобка минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи m ; Пи плюс 2 Пи k : k, m принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б)  $3 Пи ,$ $дробь: числитель: 19 Пи , знаменатель: 6 конец дроби .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах.	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б).	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

676933

а)  $левая фигурная скобка минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи m ; Пи плюс 2 Пи k : k, m принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б)  $3 Пи ,$ $дробь: числитель: 19 Пи , знаменатель: 6 конец дроби .$

Методы алгебры: Формулы приведения

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	676933	а)  $левая фигурная скобка минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи m ; Пи плюс 2 Пи k : k, m принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б)  $3 Пи ,$ $дробь: числитель: 19 Пи , знаменатель: 6 конец дроби .$