PDF-версии: 
Дана трапеция ABCD с основаниями BC и AD. Точки M и N являются серединами сторон AB и CD соответственно. Окружность, проходящая через точки B и С, пересекает отрезки BM и CN в точках P и Q (отличных от концов отрезков).
а) Докажите, что точки M, N, P и Q лежат на одной окружности.
б) Найдите QN, если отрезки DP и PC перпендикулярны, AB = 21, BC = 4, CD = 20, AD = 17.
Решение. а) Пусть угол BPQ равен γ. Четырёхугольник PBCQ — вписанный, сумма его противоположных углов равна 180°, поэтому
Угол MPQ смежный с углом BPQ, поэтому 
Отрезок MN — средняя линия трапеции ABCD, она параллельна BC, а потому
Тем самым в четырехугольнике MPQN сумма противоположных углов равна 180°:
а значит, четырехугольник вписанный.
б) В прямоугольном треугольнике CPD проведенная к гипотенузе медиана равна ее половине: PN = 10. Средняя линия трапеции равна полусумме оснований: 
Через вершину трапеции B проведем прямую, параллельную боковой стороне CD, пусть L — точка ее пересечения с основанием AD. Стороны треугольника ABL равны 21, 17 и 20. Найдем его площадь по формуле Герона, затем найдем высоту h, проведенную к стороне AL, она будет являться также высотой трапеции ABCD:
Отсюда находим:
Поскольку 
по теореме синусов для треугольника MPN, находим радиус окружности, описанной около треугольника MPQ:
Так как 
можно найти отрезок MQ по теореме синусов для треугольника MQN:
Таким образом, треугольник MQN — равнобедренный, тогда
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |