РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 17 № 675578 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 494

Классификатор планиметрии: Окружность, описанная вокруг треугольника

Планиметрическая задача. Описанные окружности и треугольники

Отрезок BL  — диаметр описанной окружности треугольника ABC, где $\angle B = 85 градусов ,$ $\angle C = 25 градусов .$ Продолжение высоты ВТ треугольника АВС пересекает эту окружность в точке М.

а)  Докажите, что $\angle ABM = \angle CAL.$

б)  Найдите длину отрезка ML, если радиус описанной окружности равен  $17 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента .$

Решение. а)  Отрезок BL  — диаметр, поэтому $\angle BAL = \angle BML = 90 градусов.$ Тогда отрезки ML и AC параллельны, ведь они перпендикулярны хорде BM. Тогда $\angle CAL = \angle MLA$ как накрест лежащие углы, но $\angle MLA = \angle ABM$ как вписанные углы, то есть $\angle ABM = \angle CAL.$

б)  Углы $\angle LBC = \angle CAL$ как вписанные и

$\angle CAL = 90 градусов минус \angle BAC = 90 градусов минус левая круглая скобка 180 градусов минус 85 градусов минус 25 градусов правая круглая скобка = 20 градусов,$ $\angle CAL = 90 градусов минус \angle BAC =$
$= 90 градусов минус левая круглая скобка 180 градусов минус 85 градусов минус 25 градусов правая круглая скобка = 20 градусов,$ $\angle CAL = 90 градусов минус \angle BAC =$
$= 90 градусов минус левая круглая скобка 180 градусов минус 85 градусов минус 25 градусов правая круглая скобка =$
$= 20 градусов,$

тогда

$\angle MBL = \angle ABC минус 2 умножить на \angle ABM =$
$= \angle ABC минус 2 \angle CAL = 85 градусов минус 2 умножить на 20 градусов = 45 градусов.$ $\angle MBL = \angle ABC минус 2 умножить на \angle ABM =$
$= \angle ABC минус 2 \angle CAL =$
$= 85 градусов минус 2 умножить на 20 градусов = 45 градусов.$

По теореме синусов

$ML = 2R умножить на синус \angle BML = 2 умножить на 17 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента умножить на дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби = 34.$ $ML = 2R умножить на синус \angle BML =$
$= 2 умножить на 17 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента умножить на дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби = 34.$

Ответ: б)  34.

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3
Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки	2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше	0
Максимальный балл	3

Ответ: б)  34.

675578

б)  34.

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 494

Методы геометрии: Теорема синусов

Классификатор планиметрии: Окружность, описанная вокруг треугольника

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	675578	б)  34.