PDF-версии: 
В основании прямой призмы ABCDA1B1C1D1 лежит равнобедренная трапеция ABCD с основаниями AD = 7, BC = 5. Точка G делит ребро A1D1 в отношении 2 : 5, считая от точки A1, точка F — середина ребра DD1.
а) Докажите, что плоскость GFC делит ребро BB1 пополам.
б) Найдите площадь сечения призмы плоскостью GFC, если 
Решение. а) Пусть точка G1 делит ребро AD в отношении
тогда
BC = G1D = GD1 = B1C1 = 5
а многогранник G1BCDGB1C1D1 — параллелепипед. Пусть плоскость GCK пересекает ребро BB1 в некоторой точке N. Противоположные грани параллелепипеда параллельны, поэтому параллельны прямые KG и CN, по которым эти грани пересечены плоскостью сечения. Отрезки KG и CN равны как отрезки параллельных прямых, заключенные между параллельными плоскостями. Следовательно, прямоугольные треугольники CNB и GKD1 равны по катету и гипотенузе: BC = GD1 и CN = GK. Тогда
а значит, точка N — середина ребра BB1. Это и требовалось доказать.
б) Построим сечение призмы плоскостью GKC. В плоскости ADD1 продлим прямую GK до пересечения с прямой AA1. Точку их пересечения обозначим E. В плоскости ABB1 точку пересечения прямой EN и ребра A1B1 обозначим L. Пятиугольник CKGLN является искомым сечением.
Найдем длину боковой стороны трапеции ABCD:
Высота трапеции 
отрезок 
Прямая CH перпендикулярна прямым AD и DD1, а потому по признаку перпендикулярности прямой и плоскости высота CH трапеции ABCD является перпендикуляром к плоскости ADD1. Прямая GK перпендикулярна наклонной CK по условию, тогда по теореме о трёх перпендикулярах проекция HK также перпендикулярна прямой GK. Получаем, что:
Тогда прямоугольные треугольники HKD и KGD подобны и
По теореме Пифагора для прямоугольных треугольников GKD1 и CDK находим, что:
Прямоугольные треугольники GKD1 и GEA1 подобны по двум углам: углы KGD1 и EGA1 равны как вертикальные. Прямоугольные треугольники LNB1 и LEA1 также подобны. Из подобий получаем:
тогда 
Заметим, что параллелограмм CKGN является прямоугольником, вычислим площадь сечения:
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |