PDF-версии: 
У правильной шестиугольной пирамиды ABCDEFS с вершиной S боковые ребра вдвое длиннее стороны основания. Точка N делит диагональ основания AD в отношении AN : ND = 1 : 3. Плоскость α приходит через точки Е и N параллельно медиане боковой грани SCD, проведенной из точки С.
а) Докажите, что плоскость α делит площадь боковой грани ASF в отношении 25 : 17.
б) Найдите угол между плоскостью α и плоскостью АВС.
Решение. а) Из условия следует, что точка N — середина отрезка BF. Пусть точка N' — середина отрезка AS, точка O — середина отрезка AD, тогда отрезки FF' и NN' равны и параллельны. Обозначим K точку пересечения прямой NF' и грани AFS. Точка K лежит в плоскости α. Кроме того, точка K — середина отрезка FN', так как NN'FF' — прямоугольник. Обозначим Q точку пересечения отрезков EN и AB, а P — точку пересечения отрезков EN и FA (см. рис. 1).
Заметим, что треугольники DEN и AQN подобны по двум углам, откуда 
Тогда по теореме Менелая для треугольника FAP и секущей NQ получаем:
откуда AP = AF.
Пусть прямая PK пересекает прямую AS в точке X, а прямую FS в точке Y (см. рис. 2). Точка X есть точка пересечения медиан треугольника PN'F, значит, 
откуда 
По теореме Менелая для треугольника ASF и секущей XY получаем:
то есть 
Площади треугольников SXY и SAF с общим углом S относятся как произведения сторон, заключающих этот угол:
следовательно, 
б) Пусть точка H — проекция точки X на плоскость ABC. Тогда 
Положим AB = 3a, SA = 6a, тогда по теореме Пифагора 
а тогда 
Далее, 
По теореме косинусов:
значит, 
Тогда 
и 
где R — проекция точки H на отрезок NQ (см. рис.).
Пусть β — искомый угол, тогда
откуда следует, что 
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |