Ре­ше­ние. а)  Обо­зна­чим на ри­сун­ке точку O  — центр окруж­но­сти. Пусть от­ре­зок OH  — пер­пен­ди­ку­ляр к хорде AB. По усло­вию зна­чит, Ра­ди­ус OB пер­пен­ди­ку­ля­рен ка­са­тель­ной MB, по­это­му

б)  Пусть MK  =  x, MA  =  7x. По тео­ре­ме о ка­са­тель­ной и се­ку­щей:

В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке OBH по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра Сле­до­ва­тель­но, По тео­ре­ме ко­си­ну­сов в тре­уголь­ни­ке MBA:

Ис­ко­мая пло­щадь равна

Ответ: б) 

При­ме­ча­ние ре­дак­ции.

Со­ста­ви­те­ли сфор­му­ли­ро­ва­ли это за­да­ние с ошиб­кой. В усло­вии вме­сто слов «угол ABM  — ост­рый» было ска­за­но «тре­уголь­ник AMB  — ост­ро­уголь­ный». Но опи­сан­ный в усло­вии тре­уголь­ник AMB  — ту­по­уголь­ный. В самом деле, вы­чис­ле­ния, сде­лан­ные в пунк­те б), по­ка­зы­ва­ют, что при­чем Для удоб­ства вы­чис­ле­ний рас­смот­рим тре­уголь­ник по­доб­ный тре­уголь­ни­ку ABC c ко­эф­фи­ци­ен­том по­до­бия По тео­ре­ме ко­си­ну­сов Но тогда а зна­чит, угол A'M'B' и рав­ный ему угол AMB  — тупые. Мы ис­пра­ви­ли ошиб­ку в усло­вии.