PDF-версии: 
В кубе ABCDA1B1C1D1 отмечены точки M и N — середины сторон AB и AD соответственно.
а) Докажите, что прямые B1N и CM перпендикулярны.
б) Найдите расстояние между этими прямыми, если 
Решение. а) Пусть отрезки BN и CM пересекаются в точке P, тогда:
то есть угол BPM — прямой. Отрезок BN — проекция отрезка B1N на плоскость ABCD, значит, по теореме о трех перпендикулярах угол между отрезками B1N и CM также прямой.
б) Плоскость BB1N перпендикулярна прямой CM, так как прямая BN перпендикулярна прямой CM и прямая BB1 перпендикулярна прямой CM. Возьмем на отрезке B1N
Пусть AD = 2x, AN = x, тогда
Отрезок BP — высота прямоугольного треугольника MBC, следовательно,
откуда 
Треугольники PQN и BB1N подобны по двум углам, значит, 
и
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |