PDF-версии: 
В правильном тетраэдре SNEG точки K и L — середины ребер NE и SG соответственно. Плоскость α перпендикулярна прямой KL и пересекает ребро EG в точке P.
а) Докажите, что прямая KL перпендикулярна ребрам NE и SG.
б) Найдите площадь сечения тетраэдра плоскостью α, если известно, что EP = 1, PG = 5.
Решение. а) Заметим, что
как высоты в равных правильных треугольниках. Отрезок KL — медиана, проведенная к основанию равнобедренного треугольника SKG, значит, отрезок KL — высота. Аналогично отрезок LK — высота и медиана равнобедренного треугольника NLE. Получили требуемое.
б) Пусть плоскость α пересекает ребра SE, SN, NG в точках Q, R, T соответственно. Плоскость α перпендикулярна отрезку KL, и отрезок SG перпендикулярен отрезку KL, значит, плоскость α параллельна отрезку SG. Аналогично плоскость α параллельна отрезкуNE.
Докажем, что отрезок QP параллелен отрезку SG. Действительно, пусть прямые QP и SG пересекаются в точке K (они не могут быть скрещивающимися, потому что лежат в одной плоскости). Тогда точка K принадлежит и плоскости α, и отрезку SG, что невозможно. Значит, отрезки QP и SG параллельны. Полностью аналогично доказывается параллельность отрезков RT и SG, а также параллельность отрезков RQ, NE и TP.
Кроме того, пусть отрезок SH — высота тетраэдра, тогда отрезок GH — проекция отрезка SG на плоскость NEG, а отрезок GH перпендикулярен отрезку NE. По теореме о трех перпендикулярах отрезок SG перпендикулярен отрезку NE. Далее, отрезок RQ перпендикулярен отрезку QP, следовательно, четырехугольник RQPT — прямоугольник. Треугольник QEP правильный, QP = EQ = 1, SQ = 5. Треугольник SRQ тоже правильный, значит, RQ = SQ = 5. Итак, SRQPT = 5.
Ответ: б) 5.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |