PDF-версии: 
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система уравнений
имеет ровно 2 различных решения.
Решение. Рассмотрим первое уравнение системы. Если 
то уравнение верно при любом значении x. Если 
то 
а тогда
Если 
то 
откуда находим:
Следовательно, исходная система уравнений равносильна совокупности следующих систем уравнений:
В системе координат xOy изобразим решения полученных систем (см. рис.). Обозначим точки: 
и 
Если прямая 
проходит через точку A, исходная система имеет два различных решения; в этом случае 
то есть 
Если прямая проходит через точку В система имеет единственное решение; в этом случае 
то есть 
Определим значение параметра, при котором прямая касается гиперболы 
Касательная имеет с гиперболой единственную общую точку, а потому уравнение 
имеет единственное решение. Умножим обе части на х, сведем уравнение к квадратному, получим: 
Найдем четверть дискриминанта: 
Дискриминант обращается в нуль при 
Найденным значениям параметра соответствуют точки касания 
Отрицательной ординате точки касания соответствует значение 
Таким, образом, исходная система уравнений имеет:
— одно решение при 
— два решения при 
— три решения при 
и при 
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен верный ответ | 4 |
| С помощью верного рассуждения получены верные значения параметра, но допущен недочет | 3 |
| С помощью верного рассуждения получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, при этом верно выполнены все шаги решения, ИЛИ в решении верно найдены все граничные точки множества значений параметра, но неверно определены промежутки значений | 2 |
| В случае аналитического решения: задача верно сведена к набору решенных уравнений и неравенств с учетом требуемых ограничений, ИЛИ в случае графического решения: задача верно сведена к исследованию взаимного расположения линий (изображены необходимые фигуры, учтены ограничения, указана связь исходной задачи с построенными фигурами) | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 4 |