PDF-версии: 
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система
имеет нечетное число решений.
Решение. Преобразуем второе уравнение системы
Учитывая полученное равенство 
преобразуем первое уравнение системы. Воспользуемся формулой косинуса тройного аргумента 
Таким образом, исходная система равносильна системе
Каждому значению x, соответствует ровно одно значение y, поэтому число решений полученной системы совпадает с числом решений системы
Нечетное число решений достигается, тогда и только тогда, когда при определённом значении k число 
является решением системы, а число 
— не является. Тогда при 
где 
исходная система имеет нечетное число решений.
Ответ: где 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен верный ответ | 4 |
| С помощью верного рассуждения получены верные значения параметра, но допущен недочет | 3 |
| С помощью верного рассуждения получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, при этом верно выполнены все шаги решения, ИЛИ в решении верно найдены все граничные точки множества значений параметра, но неверно определены промежутки значений | 2 |
| В случае аналитического решения: задача верно сведена к набору решенных уравнений и неравенств с учетом требуемых ограничений, ИЛИ в случае графического решения: задача верно сведена к исследованию взаимного расположения линий (изображены необходимые фигуры, учтены ограничения, указана связь исходной задачи с построенными фигурами) | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 4 |
где где