PDF-версии: 
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система
имеет ровно 4 различных решения.
Решение. Заметим, что если решения уравнения
являются решением исходной системы, то система имеет бесконечное число решений. Значит, чтобы система имела ровно четыре различных решения, решения уравнения не должны являться решением исходной системы. Это достигается тогда и только тогда, когда решения уравнения не принадлежат ОДЗ исходной системы, то есть не удовлетворяют условию 
Графиком уравнения в плоскости xOy является ромб с вершинами 
и 
а условию 
соответствуют все точки лежащие выше параболы 
Таким образом, система будет иметь конечное число решений в двух случаях:
— правая вершина ромба 
принадлежит левой ветви параболы (выделено синим) или лежит левее, что выполняется при
— левая вершина ромба 
принадлежит правой ветви параболы (выделено оранжевым) или лежит правее, что выполняется при
Задача свелась к нахождению таких значений параметра a, при каждом из которых система
имеет ровно четыре различных решения.
Преобразуем первое уравнение полученной системы:
Графиком первого уравнения полученной системы является объединение окружности с центром в точке 
радиусом 1 и параболы 
(выделены синим).
Пусть 
Преобразуем второе уравнение полученной системы:
Графиком второго уравнения полученной системы является пучок прямых, проходящих через точку
График первого и второго уравнений имеют ровно четыре общие точки тогда и только тогда, когда прямая 
дважды пересекает окружность 
то есть когда расстояние от центра окружности до прямой меньше радиуса окружности:
Вернёмся к параметру a:
Учитывая условие 
получаем:
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен верный ответ | 4 |
| С помощью верного рассуждения получены верные значения параметра, но допущен недочет | 3 |
| С помощью верного рассуждения получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, при этом верно выполнены все шаги решения, ИЛИ в решении верно найдены все граничные точки множества значений параметра, но неверно определены промежутки значений | 2 |
| В случае аналитического решения: задача верно сведена к набору решенных уравнений и неравенств с учетом требуемых ограничений, ИЛИ в случае графического решения: задача верно сведена к исследованию взаимного расположения линий (изображены необходимые фигуры, учтены ограничения, указана связь исходной задачи с построенными фигурами) | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 4 |