PDF-версии: 
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система уравнений
имеет ровно два различных решения.
Решение. Преобразуем систему:
При отрицательных значениях a система не имеет решений, при 
система имеет единственное решение 
Рассмотрим случай 
В системе координат xOy графиком первого уравнения системы является ромб с вершинами в точках
и 
Графиком второго уравнения системы является окружность с центром в точке 
и радиусом 
Анализируя графики, получаем, что
— при 
графики имеют две общих точки;
— при 
графики имеют три общих точки;
— при 
графики имеют четыре общих точки;
— при 
графики имеют две общих точки;
— при 
графики не имеют общих точек.
Значение a1 соответствует случаю, при котором одной из вершин ромба является точка 
Значение a2 соответствует случаю, при котором две стороны ромба касаются окружности, то есть расстояние от точки до прямой 
равно 5:
Таким образом, исходная система имеет ровно два различных решения при 
или 
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен верный ответ | 4 |
| С помощью верного рассуждения получены верные значения параметра, но допущен недочет | 3 |
| С помощью верного рассуждения получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, при этом верно выполнены все шаги решения, ИЛИ в решении верно найдены все граничные точки множества значений параметра, но неверно определены промежутки значений | 2 |
| В случае аналитического решения: задача верно сведена к набору решенных уравнений и неравенств с учетом требуемых ограничений, ИЛИ в случае графического решения: задача верно сведена к исследованию взаимного расположения линий (изображены необходимые фигуры, учтены ограничения, указана связь исходной задачи с построенными фигурами) | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 4 |