РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 13 № 660977 Добавить в вариант

Источник: ЕГЭ по математике 31.05.2024. Основная волна. Урал

Классификатор алгебры: Тригонометрические уравнения, сводимые к целым на синус или косинус

Методы алгебры: Формулы двойного угла, Формулы приведения

Уравнения. Тригонометрические уравнения, разложение на множители

а)  Решите уравнение $синус 2x минус корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента косинус левая круглая скобка x плюс Пи правая круглая скобка =0.$

б)  найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .$

Решение. а)  Используя формулу приведения $косинус левая круглая скобка x плюс Пи правая круглая скобка = минус косинус x$ и формулу синуса двойного угла $синус 2x = 2 синус x косинус x,$ получаем:

$синус 2x минус корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента косинус левая круглая скобка x плюс Пи правая круглая скобка =0 равносильно 2 синус x косинус x плюс корень из 3 косинус x = 0 равносильно$
$равносильно косинус x левая круглая скобка 2 синус x плюс корень из 3 правая круглая скобка = 0 равносильно совокупность выражений косинус x = 0, синус x = минус дробь: числитель: корень из 3 , знаменатель: 2 конец дроби конец совокупности . равносильно совокупность выражений x = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи k, x = дробь: числитель: 4 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k, x = дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k, конец совокупности . k принадлежит Z .$ $синус 2x минус корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента косинус левая круглая скобка x плюс Пи правая круглая скобка =0 равносильно$
$равносильно 2 синус x косинус x плюс корень из 3 косинус x = 0 равносильно косинус x левая круглая скобка 2 синус x плюс корень из 3 правая круглая скобка = 0 равносильно$
$равносильно совокупность выражений косинус x = 0, синус x = минус дробь: числитель: корень из 3 , знаменатель: 2 конец дроби конец совокупности . равносильно совокупность выражений x = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи k, x = дробь: числитель: 4 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k, x = дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k, конец совокупности . k принадлежит Z .$ $синус 2x минус корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента косинус левая круглая скобка x плюс Пи правая круглая скобка =0 равносильно$
$равносильно 2 синус x косинус x плюс корень из 3 косинус x = 0 равносильно$
$равносильно косинус x левая круглая скобка 2 синус x плюс корень из 3 правая круглая скобка = 0 равносильно совокупность выражений косинус x = 0, синус x = минус дробь: числитель: корень из 3 , знаменатель: 2 конец дроби конец совокупности . равносильно$
$равносильно совокупность выражений x = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи k, x = дробь: числитель: 4 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k, x = дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k, конец совокупности . k принадлежит Z .$

б)  С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .$ Получим числа: $дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ;$ $дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 3 конец дроби ;$ $дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 2 конец дроби .$

Ответ: а) $левая фигурная скобка дробь: числитель: 4 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k; дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи k : k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ;$ $дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 3 конец дроби ;$ $дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 2 конец дроби .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б)	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	2

660977

а) $левая фигурная скобка дробь: числитель: 4 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k; дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи k : k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ;$ $дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 3 конец дроби ;$ $дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 2 конец дроби .$

Источник: ЕГЭ по математике 31.05.2024. Основная волна. Урал

Классификатор алгебры: Тригонометрические уравнения, сводимые к целым на синус или косинус

Методы алгебры: Формулы двойного угла, Формулы приведения

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	660977	а) $левая фигурная скобка дробь: числитель: 4 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k; дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи k : k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ;$ $дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 3 конец дроби ;$ $дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 2 конец дроби .$