РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 13 № 660956 Добавить в вариант

Источник: Задания 13 ЕГЭ–2024

Классификатор алгебры: Показательные уравнения

Уравнения. Показательные уравнения

а)  Решите уравнение $4 в степени левая круглая скобка x минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка минус 5 умножить на 2 в степени левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка плюс 3=0.$

б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $левая круглая скобка 1, дробь: числитель: 5, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка .$

Решение. а)  Заметим, что $4 в степени левая круглая скобка левая круглая скобка x минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка правая круглая скобка = 4 в степени левая круглая скобка левая круглая скобка x минус 1 плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка правая круглая скобка =4 в степени левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка умножить на 4 в степени левая круглая скобка левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка правая круглая скобка =2 умножить на 4 в степени левая круглая скобка левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка правая круглая скобка ,$ преобразуем исходное уравнение:

$4 в степени левая круглая скобка x минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка минус 5 умножить на 2 в степени левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка плюс 3=0 равносильно 2 умножить на 4 в степени левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка минус 5 умножить на 2 в степени левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка плюс 3= 0.$

Пусть $t = 2 в степени левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка ,$ тогда уравнение запишется в виде $2t в квадрате минус 5t плюс 3 = 0,$ откуда $t = 1$ или $t = дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби .$

При $t = 1$ получим: $2 в степени левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка =1$ откуда $x = 1.$

При $t = дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби$ получим: $2 в степени левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка = дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби$ откуда $x = логарифм по основанию 2 3.$

б)  Корень x  =  1 не принадлежит отрезку. Сравним числа $логарифм по основанию 2 3$ и $дробь: числитель: 5, знаменатель: 3 конец дроби :$

$логарифм по основанию 2 3 меньше дробь: числитель: 5, знаменатель: 3 конец дроби равносильно 3 меньше 2 в степени левая круглая скобка дробь: числитель: 5, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка равносильно 27 меньше 2 в степени 5 =32.$

Заметим также, что $логарифм по основанию 2 3 больше логарифм по основанию 2 2=1.$ Значит, указанному промежутку принадлежит только корень $x= логарифм по основанию 2 3.$

Ответ: а) $левая фигурная скобка 1; логарифм по основанию 2 3 правая фигурная скобка ;$ б) $логарифм по основанию 2 3.$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б)	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	2

660956

а) $левая фигурная скобка 1; логарифм по основанию 2 3 правая фигурная скобка ;$ б) $логарифм по основанию 2 3.$

Источник: Задания 13 ЕГЭ–2024

Классификатор алгебры: Показательные уравнения

Методы алгебры: Введение замены

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	660956	а) $левая фигурная скобка 1; логарифм по основанию 2 3 правая фигурная скобка ;$ б) $логарифм по основанию 2 3.$