РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 13 № 660904 Добавить в вариант

Источник: Задания 13 ЕГЭ–2024

Классификатор алгебры: Тригонометрические уравнения, решаемые разложением на множители

Методы алгебры: Формулы приведения, Разложение на множители

Уравнения. Тригонометрические уравнения, разложение на множители

a)  Решите уравнение $2 косинус в квадрате x плюс 3 синус левая круглая скобка x плюс Пи правая круглая скобка минус 3 = 0.$

б)  Укажите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка 2 Пи ; дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .$

Решение. Воспользуемся формулой приведения и основным тригонометрическим тождеством:

$2 косинус в квадрате x плюс 3 синус левая круглая скобка x плюс Пи правая круглая скобка минус 3 = 0 равносильно 2 минус 2 синус в квадрате x минус 3 синус x минус 3=0 равносильно 2 синус в квадрате x плюс 3 синус x плюс 1=0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка синус x плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 2 синус x плюс 1 правая круглая скобка =0 равносильно совокупность выражений синус x= минус 1, синус x= минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби конец совокупности . равносильно совокупность выражений x= дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 2 Пи k, x= дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи n, x= дробь: числитель: 11 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи m, конец совокупности . k, n, m принадлежит Z .$ $2 косинус в квадрате x плюс 3 синус левая круглая скобка x плюс Пи правая круглая скобка минус 3 = 0 равносильно 2 минус 2 синус в квадрате x минус 3 синус x минус 3=0 равносильно$
$равносильно 2 синус в квадрате x плюс 3 синус x плюс 1=0 равносильно левая круглая скобка синус x плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 2 синус x плюс 1 правая круглая скобка =0 равносильно$
$равносильно совокупность выражений синус x= минус 1, синус x= минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби конец совокупности . равносильно совокупность выражений x= дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 2 Пи k, x= дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи n, x= дробь: числитель: 11 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи m, конец совокупности . k, n, m принадлежит Z .$ $2 косинус в квадрате x плюс 3 синус левая круглая скобка x плюс Пи правая круглая скобка минус 3 = 0 равносильно$
$равносильно 2 минус 2 синус в квадрате x минус 3 синус x минус 3=0 равносильно 2 синус в квадрате x плюс 3 синус x плюс 1=0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка синус x плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 2 синус x плюс 1 правая круглая скобка =0 равносильно$
$равносильно совокупность выражений синус x= минус 1, синус x= минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби конец совокупности . равносильно совокупность выражений x= дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 2 Пи k, x= дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи n, x= дробь: числитель: 11 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи m, конец совокупности . k, n, m принадлежит Z .$ $2 косинус в квадрате x плюс 3 синус левая круглая скобка x плюс Пи правая круглая скобка минус 3 = 0 равносильно$
$равносильно 2 минус 2 синус в квадрате x минус 3 синус x минус 3=0 равносильно$
$равносильно 2 синус в квадрате x плюс 3 синус x плюс 1=0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка синус x плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 2 синус x плюс 1 правая круглая скобка =0 равносильно совокупность выражений синус x= минус 1, синус x= минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби конец совокупности . равносильно$
$равносильно совокупность выражений x= дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 2 Пи k, x= дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи n, x= дробь: числитель: 11 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи m, конец совокупности . k, n, m принадлежит Z .$

б)  Отберем корни при помощи единичной окружности (см.  рис.). Найдем: $дробь: числитель: 19 Пи , знаменатель: 6 конец дроби$ и $дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 2 конец дроби .$

Ответ: a) $левая фигурная скобка дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 2 Пи k ; дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи n; дробь: числитель: 11 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи m : k, n, m принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $дробь: числитель: 19 Пи , знаменатель: 6 конец дроби ;$ $дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 2 конец дроби .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б)	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	2

660904

a) $левая фигурная скобка дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 2 Пи k ; дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи n; дробь: числитель: 11 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи m : k, n, m принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $дробь: числитель: 19 Пи , знаменатель: 6 конец дроби ;$ $дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 2 конец дроби .$

Источник: Задания 13 ЕГЭ–2024

Классификатор алгебры: Тригонометрические уравнения, решаемые разложением на множители

Методы алгебры: Формулы приведения, Разложение на множители

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	660904	a) $левая фигурная скобка дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 2 Пи k ; дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи n; дробь: числитель: 11 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи m : k, n, m принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $дробь: числитель: 19 Пи , знаменатель: 6 конец дроби ;$ $дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 2 конец дроби .$