PDF-версии: 
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система уравнений
имеет два решения.
Решение. Рассмотрим первое уравнение системы. Заметим, что параметр a неотрицателен, так как иначе сумма модулей была бы отрицательным числом, чего быть не может. При a = 0 получаем x = y = 0, что противоречит второму уравнению системы. Уравнение 
при 
имеет вид квадрата с вершинами на координатных осях и диагоналями, равными 2a. График второго уравнения получается из графика функции 
сдвигом на девять единиц влево вдоль оси абсцисс.
При a = 3 система имеет ровно одно решение, а при a = 9 — 3 решения. Найдем, при каком значении параметра график корня касается стороны квадрата. Для этого определим, при каких параметрах a уравнение 
имеет единственное решение. Имеем:
Уравнение 
имеет единственное решение в том случае, если дискриминант равен нулю. Решим уравнение D = 0:
Уравнение 
имеет единственное решение в том случае, если дискриминант равен нулю. Решим уравнение D = 0:
Учитывая, что 
получаем, что графики уравнений 
и 
касаются при a = 9,25. При найденном значении а абсциссой точки касания является 
эта точка действительно лежит на стороне квадрата. Следовательно, система уравнений имеет два решения при 
и a = 9,25.
Ответ:
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен верный ответ | 4 |
| С помощью верного рассуждения получены верные значения параметра, но допущен недочет | 3 |
| С помощью верного рассуждения получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, при этом верно выполнены все шаги решения, ИЛИ в решении верно найдены все граничные точки множества значений параметра, но неверно определены промежутки значений | 2 |
| В случае аналитического решения: задача верно сведена к набору решенных уравнений и неравенств с учетом требуемых ограничений, ИЛИ в случае графического решения: задача верно сведена к исследованию взаимного расположения линий (изображены необходимые фигуры, учтены ограничения, указана связь исходной задачи с построенными фигурами) | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 4 |