PDF-версии: 
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система уравнений
имеет ровно два решения.
Решение. Перепишем второе уравнение:
его графиком являются две параболы, симметричные относительно оси абсцисс, с общими точками (0; 0) и (4; 0).
Найдём такие a, при которых прямая 
является касательной к графику 
Решим соответствующее уравнение и найдём нуль дискриминанта:
Дискриминант 
он равен нулю при 
откуда 
Аналогично найдём такие a, при которых прямая является касательной к графику 
Дискриминант 
он равен нулю при 
откуда 
Если 
то у прямой нет общих точек с графиком 
а с графиком 
— две общие точки.
Если 
то у прямой одна общая точка 
с графиком но эта же точка является точкой внутренней области графика 
значит, будет 3 общих точки.
Если 
то прямая пересекает каждую параболу в двух точках, которые не могут совпасть полностью, так как это происходит в точках (0; 0) и (4; 0), поэтому будет минимум 3 решения.
Если 
то у прямой одна общая точка 
с графиком но эта же точка является точкой внутренней области графика значит, будет 3 общих точки.
Если 
то у прямой нет общих точек с графиком а с графиком 
— две общие точки.
Таким образом, исходная система уравнений имеет ровно два решения при 
Ответ: 
Приведём другое решение.
Перепишем второе уравнение: то есть необходимо, чтобы уравнение 
имело равно два различных решения.
Дискриминант уравнения (1) равен его корни 
дискриминант уравнения (2) равен 
его корни 
Рассмотрим все возможные значения дискриминантов.
1) Первое уравнение не имеет решений, второе имеет два различных, то есть 
2) Первое уравнение имеет одно решение, второе имеет два различных, одно из которых совпадает с решением первого, то есть 
значит, откуда 
Необходимо, чтобы
что ложно.
3) Оба уравнения имеют по два решения, которые попарно совпадают, то есть 
x1 = x3, x2 = x4:
Теперь решим уравнение равенства корней:
При a = 4 x1 = 4, x2 = −1, x3 = 4, x4 = 1 — три различных решения.
При a = 0 x1 = 3, x2 = 0, x3 = 5, x4 = 0 — три различных решения.
4) Первое уравнение не имеет решений, а второе имеет два совпадающих, то есть 
— не подходит.
5) Оба уравнения имеют по два совпадающих решения, при этом различных между собой, то есть 
Этот случай нам не подходит.
6) Второе уравнение имеет одно решение, первое имеет два различных, одно из которых совпадает с решением второго, то есть 
значит, откуда 
Необходимо, чтобы
что ложно.
7) Оба уравнения не имеют решений, то есть 
— не подходит.
8) Второе уравнение не имеет решений, а первое имеет два совпадающих, то есть 
— не подходит.
9) Второе уравнение не имеет решений, первое имеет два различных, то есть
Итак, условию удовлетворяют только случаи 1) и 9), откуда получаем, что исходная система уравнений имеет два различных решения при 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен верный ответ | 4 |
| С помощью верного рассуждения получены верные значения параметра, но допущен недочет | 3 |
| С помощью верного рассуждения получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, при этом верно выполнены все шаги решения, ИЛИ в решении верно найдены все граничные точки множества значений параметра, но неверно определены промежутки значений | 2 |
| В случае аналитического решения: задача верно сведена к набору решенных уравнений и неравенств с учетом требуемых ограничений, ИЛИ в случае графического решения: задача верно сведена к исследованию взаимного расположения линий (изображены необходимые фигуры, учтены ограничения, указана связь исходной задачи с построенными фигурами) | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 4 |