PDF-версии: 
Окружность с центром в точке O касается сторон угла с вершиной N в точках A и B. Отрезок BC — диаметр этой окружности.
а) Докажите, что 
б) Найдите расстояние от точки N до прямой AB, если известно, что AC = 14 и AB = 36.
Решение. а) Точка O лежит на биссектрисе угла ANB, поскольку она равноудалена от AN и BN. Пусть AB пересекается с NO в точке M. Треугольники ANM и BNM равны: отрезки AN и BN равны как отрезки касательных к окружности, проведенных их одной точки, углы ANM и BNM равны, поскольку NM — биссектриса угла ANB, MN — общая сторона. Следовательно, углы AMN и BMN равны. Эти углы также являются смежными, поэтому они равны по 90°.
Прямые NO и AB взаимно перпендикулярны. В прямоугольных треугольниках BMO и NBO угол BOM общий, поэтому углы MBO и BNO равны. Углы ANM и BNM равны, поскольку NM — биссектриса угла ANB. Следовательно, угол MBO в два раза меньше угла ANB, тогда 
б) Треугольники ABC и MBO подобны с коэффициентом 2, значит, MO = 7 и MB = 18. Высота, проведенная к гипотенузе, равна среднему геометрическому проекций катетов на гипотенузу, поэтому 
откуда
Ответ: б) 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |