РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 14 № 660756 Добавить в вариант

Источник: Задания 14 ЕГЭ–2024

Классификатор стереометрии: Сечение, проходящее через три точки, Деление отрезка, Правильная четырёхугольная пирамида

Стереометрическая задача. Сечения пирамид

Все рёбра правильной четырёхугольной пирамиды SABCD с основанием ABCD равны 10. Точка O  — центр основания пирамиды. Плоскость, параллельная прямой SA и проходящая через точку O, пересекает рёбра SC и SD в точках M и N соответственно. Точка N делит ребро SD в отношении $S N : N D = 2 : 3.$

а)  Докажите, что точка M  — середина ребра SC.

б)  Найдите длину отрезка, по которому плоскость OMN пересекает грань SBC.

Решение. а)  Прямая AS параллельна плоскости OMN, значит, прямые AS и MO не имеют общих точек. При этом прямые AS и MO лежат в плоскости ASC, следовательно, они параллельны. В треугольнике ASC точка O  — середина стороны AC, тогда отрезок MO является средней линией треугольника ASC по признаку, значит, точка M  — середина ребра SC..

б)  Пусть плоскость OMN пересекает ребро BC в точке K, а ребро AD  — в точке E. Найдем длину отрезка MK. Прямые AS и EN не имеют общих точек и лежат в одной плоскости, значит, они параллельны. На сторонах угла SDA параллельные прямые AS и EN отсекают пропорциональные отрезки, значит,

$D E : EA = DN : NS = 3 : 2.$

Учитывая, что $AD = 10,$ получаем, что $DE = 6$ и $EA = 4.$ Точка K симметрична точке E относительно центра основания O, а значит, $KC = EA = 4.$ Треугольник SBC равносторонний, поскольку все ребра пирамиды равны 10. Следовательно, угол SCB равен 60°. Тогда $MC = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби SC=5,$ поскольку M  — середина ребра SC. Находим отрезок MK по теореме косинусов:

$MK в квадрате = MC в квадрате плюс CK в квадрате минус 2 косинус 60 в степени circ умножить на MC умножить на CK равносильно MK в квадрате =25 плюс 16 минус 20 равносильно MK= корень из: начало аргумента: 21 конец аргумента .$ $MK в квадрате = MC в квадрате плюс CK в квадрате минус 2 косинус 60 в степени circ умножить на MC умножить на CK равносильно$
$равносильно MK в квадрате =25 плюс 16 минус 20 равносильно MK= корень из: начало аргумента: 21 конец аргумента .$

Ответ: б)   $корень из: начало аргумента: 21 конец аргумента .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3
Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки	2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше	0
Максимальный балл	3

Ответ: б)   $корень из: начало аргумента: 21 конец аргумента .$

660756

б)   $корень из: начало аргумента: 21 конец аргумента .$

Источник: Задания 14 ЕГЭ–2024

Методы геометрии: Теорема косинусов

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	660756	б)   $корень из: начало аргумента: 21 конец аргумента .$