РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 13 № 660754 Добавить в вариант

Источник: Задания 13 ЕГЭ–2024

Классификатор алгебры: Тригонометрические уравнения, сводимые к целым на синус или косинус

Методы алгебры: Формулы приведения, Использование основного тригонометрического тождества и следствий из него

Уравнения. Тригонометрические уравнения, разложение на множители

а)  Решите уравнение $2 косинус в квадрате x минус синус левая круглая скобка x минус Пи правая круглая скобка минус 1 = 0.$

б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка минус дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; минус 2 Пи правая квадратная скобка .$

Решение. а)  Используя формулу приведения $синус левая круглая скобка Пи минус x правая круглая скобка = синус x,$ получаем:

$2 косинус в квадрате x минус синус левая круглая скобка x минус Пи правая круглая скобка минус 1 = 0 равносильно 2 минус 2 синус в квадрате x плюс синус левая круглая скобка Пи минус x правая круглая скобка минус 1 = 0 равносильно$
$равносильно 2 синус в квадрате x минус синус x минус 1 равносильно совокупность выражений синус x = минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби , синус x = 1 конец совокупности . равносильно совокупность выражений x = дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k, x = дробь: числитель: 11 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k, x = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 2 Пи k, конец совокупности . k принадлежит Z .$ $2 косинус в квадрате x минус синус левая круглая скобка x минус Пи правая круглая скобка минус 1 = 0 равносильно$
$равносильно 2 минус 2 синус в квадрате x плюс синус левая круглая скобка Пи минус x правая круглая скобка минус 1 = 0 равносильно 2 синус в квадрате x минус синус x минус 1 равносильно$
$равносильно совокупность выражений синус x = минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби , синус x = 1 конец совокупности . равносильно совокупность выражений x = дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k, x = дробь: числитель: 11 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k, x = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 2 Пи k, конец совокупности . k принадлежит Z .$ $2 косинус в квадрате x минус синус левая круглая скобка x минус Пи правая круглая скобка минус 1 = 0 равносильно$
$равносильно 2 минус 2 синус в квадрате x плюс синус левая круглая скобка Пи минус x правая круглая скобка минус 1 = 0 равносильно$
$равносильно 2 синус в квадрате x минус синус x минус 1 равносильно совокупность выражений синус x = минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби , синус x = 1 конец совокупности . равносильно$
$равносильно совокупность выражений x = дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k, x = дробь: числитель: 11 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k, x = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 2 Пи k, конец совокупности . k принадлежит Z .$

б)  Отберем корни при помощи единичной окружности (см.  рис.). Найдем: $минус дробь: числитель: 13 Пи , знаменатель: 6 конец дроби ,$ $минус дробь: числитель: 17 Пи , знаменатель: 6 конец дроби ,$ $минус дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 2 конец дроби .$

Ответ: а)   $левая фигурная скобка дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k; дробь: числитель: 11 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 2 Пи k: k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б)   $минус дробь: числитель: 13 Пи , знаменатель: 6 конец дроби ,$ $минус дробь: числитель: 17 Пи , знаменатель: 6 конец дроби ,$ $минус дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 2 конец дроби .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б)	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	2

660754

а)   $левая фигурная скобка дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k; дробь: числитель: 11 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 2 Пи k: k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б)   $минус дробь: числитель: 13 Пи , знаменатель: 6 конец дроби ,$ $минус дробь: числитель: 17 Пи , знаменатель: 6 конец дроби ,$ $минус дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 2 конец дроби .$

Источник: Задания 13 ЕГЭ–2024

Классификатор алгебры: Тригонометрические уравнения, сводимые к целым на синус или косинус

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	660754	а)   $левая фигурная скобка дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k; дробь: числитель: 11 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 2 Пи k: k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б)   $минус дробь: числитель: 13 Пи , знаменатель: 6 конец дроби ,$ $минус дробь: числитель: 17 Пи , знаменатель: 6 конец дроби ,$ $минус дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 2 конец дроби .$