PDF-версии: 
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система
имеет единственное решение.
Решение. Запишем систему в виде
и заметим, что она не меняется при замене x на y, а y на х. Тогда если тройка чисел 
является решением системы, то и тройка чисел 
является ее решением. Чтобы система имела единственное решение, должно быть выполнено равенство 
Положим, 
получим:
Полученная система не меняется при замене z на −z, а потому если тройка чисел является решением системы, то и тройка чисел 
является ее решением. Чтобы система имела единственное решение, должно быть выполнено равенство 
Положим, 
получим:
Из первого уравнения находим: 
то есть 
Логарифм в третьем уравнении определен только для положительных значений аргумента, поэтому 
а значит, 
откуда 
Тогда 
и второе уравнение принимает вид 
Подставляя найденные величины в третье уравнение, получаем верное равенство 
Таким образом, единственным возможным значением параметра является
Проверим, что при 
система действительно имеет единственное решение. Имеем:
Подставляя в исходную систему при 
находим:
Ответ: 1.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен верный ответ | 4 |
| С помощью верного рассуждения получены верные значения параметра, но допущен недочет | 3 |
| С помощью верного рассуждения получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, при этом верно выполнены все шаги решения, ИЛИ в решении верно найдены все граничные точки множества значений параметра, но неверно определены промежутки значений | 2 |
| В случае аналитического решения: задача верно сведена к набору решенных уравнений и неравенств с учетом требуемых ограничений, ИЛИ в случае графического решения: задача верно сведена к исследованию взаимного расположения линий (изображены необходимые фигуры, учтены ограничения, указана связь исходной задачи с построенными фигурами) | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 4 |