Ре­ше­ние. а)  Пусть плос­кость α не па­рал­лель­на ребру BS и они пе­ре­се­ка­ют­ся в точке X. За­ме­тим, что PM  — пря­мая пе­ре­се­че­ния плос­ко­стей SAB и α, таким об­ра­зом, точка X лежит на пря­мой PM. Ана­ло­гич­ные рас­суж­де­ния про плос­кость SBC и пря­мую QN при­во­дят к тому, что точка X лежит на пря­мой QN и, сле­до­ва­тель­но, яв­ля­ет­ся точ­кой пе­ре­се­че­ния пря­мых PM и QN. Но по усло­вию они па­рал­лель­ны  — про­ти­во­ре­чие. Зна­чит, плос­кость α па­рал­лель­на ребру BS.

б)  За­ме­тим, что от­ре­зок MN  — сред­няя линия тре­уголь­ни­ка ABC и, сле­до­ва­тель­но, па­рал­лель­на AC и равна ее по­ло­ви­не. Пусть O  — центр ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды, K и L  — точки пе­ре­се­че­ния плос­ко­сти α с реб­ром SD и диа­го­на­лью ос­но­ва­ния BD со­от­вет­ствен­но. Точка L яв­ля­ет­ся од­но­вре­мен­но се­ре­ди­ной от­рез­ков MN и OB.

Из п. а) сле­ду­ет, что пря­мые KL, PM и QN па­рал­лель­ны пря­мой BS. Таким об­ра­зом, от­рез­ки PM и QN суть сред­ние линии тре­уголь­ни­ков ASB и CSB со­от­вет­ствен­но. Они равны по­ло­ви­не сто­ро­ны SB, а тре­уголь­ни­ки DKL и DSB по­доб­ны. Пря­мая DL яв­ля­ет­ся про­ек­ци­ей на­клон­ной KL на плос­кость ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды, по­это­му по тео­ре­ме о трех пер­пен­ди­ку­ля­рах от­рез­ки KL и MN пер­пен­ди­ку­ляр­ны, а по­то­му че­ты­рех­уголь­ник MNQP  — пря­мо­уголь­ник. По­лу­ча­ем:

Таким об­ра­зом, пло­щадь пя­ти­уголь­ни­ка MNQKP равна

Ответ: б)