РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 13 № 660090 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 467

Классификатор алгебры: Неравенства смешанного типа, Показательные уравнения и неравенства, Тригонометрические уравнения и неравенства

Методы алгебры: Домножение на знаменатель с учётом ОДЗ

Уравнения. Тригонометрия и показательные выражения

а)  Решите уравнение $3 умножить на 2 в степени левая круглая скобка синус 2 x правая круглая скобка минус 2 умножить на 6 в степени левая круглая скобка синус 2 x правая круглая скобка минус 18 в степени левая круглая скобка синус 2 x правая круглая скобка = 0.$

б)  Найдите все корни уравнения, принадлежащие промежутку $левая квадратная скобка минус дробь: числитель: 9 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка .$

Решение. а)  Разложим на $2 в степени левая круглая скобка синус x правая круглая скобка ,$ получим уравнение, квадратное относительно $3 в степени левая круглая скобка синус 2x правая круглая скобка :$

$3 умножить на 2 в степени левая круглая скобка синус 2 x правая круглая скобка минус 2 умножить на 6 в степени левая круглая скобка синус 2 x правая круглая скобка минус 18 в степени левая круглая скобка синус 2 x правая круглая скобка = 0 равносильно 3 в степени левая круглая скобка 2 синус 2 x правая круглая скобка плюс 2 умножить на 3 в степени левая круглая скобка синус 2 x правая круглая скобка минус 3 = 0 равносильно равносильно совокупность выражений 3 в степени левая круглая скобка синус 2 x правая круглая скобка = 1, 3 в степени левая круглая скобка синус 2 x правая круглая скобка = минус 3 конец совокупности . равносильно$
$равносильно 3 в степени левая круглая скобка синус 2 x правая круглая скобка = 1 равносильно синус 2 x = 0 равносильно 2 x = Пи k, k принадлежит Z равносильно x= дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 2 конец дроби , k принадлежит Z .$ $3 умножить на 2 в степени левая круглая скобка синус 2 x правая круглая скобка минус 2 умножить на 6 в степени левая круглая скобка синус 2 x правая круглая скобка минус 18 в степени левая круглая скобка синус 2 x правая круглая скобка = 0 равносильно 3 в степени левая круглая скобка 2 синус 2 x правая круглая скобка плюс 2 умножить на 3 в степени левая круглая скобка синус 2 x правая круглая скобка минус 3 = 0 равносильно$
$равносильно равносильно совокупность выражений 3 в степени левая круглая скобка синус 2 x правая круглая скобка = 1, 3 в степени левая круглая скобка синус 2 x правая круглая скобка = минус 3 конец совокупности . равносильно 3 в степени левая круглая скобка синус 2 x правая круглая скобка = 1 равносильно$
$равносильно синус 2 x = 0 равносильно 2 x = Пи k, k принадлежит Z равносильно x= дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 2 конец дроби , k принадлежит Z .$ $3 умножить на 2 в степени левая круглая скобка синус 2 x правая круглая скобка минус 2 умножить на 6 в степени левая круглая скобка синус 2 x правая круглая скобка минус 18 в степени левая круглая скобка синус 2 x правая круглая скобка = 0 равносильно$
$равносильно 3 в степени левая круглая скобка 2 синус 2 x правая круглая скобка плюс 2 умножить на 3 в степени левая круглая скобка синус 2 x правая круглая скобка минус 3 = 0 равносильно равносильно совокупность выражений 3 в степени левая круглая скобка синус 2 x правая круглая скобка = 1, 3 в степени левая круглая скобка синус 2 x правая круглая скобка = минус 3 конец совокупности . равносильно$
$равносильно 3 в степени левая круглая скобка синус 2 x правая круглая скобка = 1 равносильно синус 2 x = 0 равносильно$
$равносильно 2 x = Пи k, k принадлежит Z равносильно x= дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 2 конец дроби , k принадлежит Z .$

б)  Отберем корни при помощи двойного неравенства:

$минус дробь: числитель: 9 Пи , знаменатель: 2 конец дроби меньше или равно дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 2 конец дроби меньше минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 2 конец дроби равносильно минус 9 меньше или равно k меньше минус 5.$

Значениям $k принадлежит левая фигурная скобка минус 9; минус 8; минус 7; минус 6 правая фигурная скобка$ соответствуют решения $минус дробь: числитель: 9 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ,$ $минус дробь: числитель: 8 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ,$ $минус дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ,$ $минус дробь: числитель: 6 Пи , знаменатель: 2 конец дроби .$

Ответ: а) $левая фигурная скобка дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 2 конец дроби : k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $минус дробь: числитель: 9 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ,$ $минус дробь: числитель: 8 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ,$ $минус дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ,$ $минус дробь: числитель: 6 Пи , знаменатель: 2 конец дроби .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б)	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	2

660090

а) $левая фигурная скобка дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 2 конец дроби : k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $минус дробь: числитель: 9 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ,$ $минус дробь: числитель: 8 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ,$ $минус дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ,$ $минус дробь: числитель: 6 Пи , знаменатель: 2 конец дроби .$

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 467

Методы алгебры: Домножение на знаменатель с учётом ОДЗ

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	660090	а) $левая фигурная скобка дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 2 конец дроби : k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $минус дробь: числитель: 9 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ,$ $минус дробь: числитель: 8 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ,$ $минус дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ,$ $минус дробь: числитель: 6 Пи , знаменатель: 2 конец дроби .$