Ре­ше­ние. а)  Пусть плос­кость се­че­ния пе­ре­се­ка­ет AA₁ в точке M. Тогда пря­мые MK и AC лежат в одной плос­ко­сти. Если пря­мые MK и AC пе­ре­се­ка­ют­ся, то плос­кость B₁KD и пря­мая AC имеют хотя бы одну общую точку, а это не­воз­мож­но. Зна­чит, пря­мая MK па­рал­лель­на диа­го­на­ли ос­но­ва­ния AC, а по­то­му Тре­уголь­ни­ки B₁C₁K и AMD равны по ка­те­ту и ги­по­те­ну­зе, по­это­му Зна­чит, K  — се­ре­ди­на CC₁.

б)  Пусть N  — се­ре­ди­на BB₁, а L  — се­ре­ди­на DD₁. Тогда MN па­рал­лель­на AB и KL па­рал­лель­на CD. По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра

Най­дем объем пи­ра­ми­ды BMKD:

Най­дем пло­щадь рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка KMD:

Тогда где h  — ис­ко­мое рас­сто­я­ние. На­хо­дим:

Ответ: б)

При­ве­дем ре­ше­ние ме­то­дом ко­ор­ди­нат (Алек­сандр Тур­ба­нов, Ли­пецк).

а)  Вве­дем си­сте­му ко­ор­ди­нат с на­ча­лом в точке B, оси на­пра­вим вдоль ребер па­рал­ле­ле­пи­пе­да так, как по­ка­за­но на ри­сун­ке. В этой си­сте­ме ко­ор­ди­нат:

Пусть точка T  — се­ре­ди­на СС₁, тогда Пусть  α  — плос­кость, про­хо­дя­щая через точки B₁ и D па­рал­лель­но сто­ро­не AC. Урав­не­ние плос­ко­сти имеет вид где   — нор­маль к плос­ко­сти α. Плос­кость  α па­рал­лель­на сто­ро­не AC, по­это­му то есть За­пи­шем си­сте­му:

от­ку­да на­хо­дим, что: и Тогда а по­то­му урав­не­ние плос­ко­сти  α при­ни­ма­ет вид

Под­ста­вим ко­ор­ди­на­ты точки T в най­ден­ное урав­не­ние, на­хо­дим:

Ра­вен­ство верно, по­это­му точка T при­над­ле­жит плос­ко­сти α и сов­па­да­ет с точ­кой K, а зна­чит, плос­кость α пе­ре­се­ка­ет сто­ро­ну CC₁ в се­ре­ди­не.

б)  По фор­му­ле рас­сто­я­ния от точки до плос­ко­сти на­хо­дим: