РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 13 № 656542 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 460

Классификатор алгебры: Уравнения смешанного типа, Тригонометрические уравнения, сводимые к целым на тангенс или котангенс

Методы алгебры: Введение замены

Уравнения. Тригонометрические уравнения, сводимые к квадратным

а)  Решите уравнение $|\ctg в квадрате 2 x плюс 8 корень из: начало аргумента: минус \ctg 2 x конец аргумента минус 3| = |\ctg в квадрате 2 x минус 8 корень из: начало аргумента: минус \ctg 2 x конец аргумента минус 3 |.$

б)  Найдите все корни уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка минус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 4 конец дроби ; Пи правая квадратная скобка .$

Решение. а)  Сделаем замену $t = минус \ctg 2x,$ заметим, что должно выполняться условие $t больше или равно 0.$ Преобразуем уравнение при этом условии:

$|t в квадрате плюс 8 корень из: начало аргумента: t конец аргумента минус 3|=|t в квадрате минус 8 корень из: начало аргумента: t конец аргумента минус 3| равносильно совокупность выражений t в квадрате плюс 8 корень из: начало аргумента: t конец аргумента минус 3=t в квадрате минус 8 корень из: начало аргумента: t конец аргумента минус 3, t в квадрате плюс 8 корень из: начало аргумента: t конец аргумента минус 3= минус t в квадрате плюс 8 корень из: начало аргумента: t конец аргумента плюс 3 конец совокупности . равносильно совокупность выражений корень из: начало аргумента: t конец аргумента =0, t в квадрате =3 конец совокупности . \underset t больше или равно 0 \mathop равносильно совокупность выражений t=0, t= корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента . конец совокупности .$ $|t в квадрате плюс 8 корень из: начало аргумента: t конец аргумента минус 3|=|t в квадрате минус 8 корень из: начало аргумента: t конец аргумента минус 3| равносильно$
$равносильно совокупность выражений t в квадрате плюс 8 корень из: начало аргумента: t конец аргумента минус 3=t в квадрате минус 8 корень из: начало аргумента: t конец аргумента минус 3, t в квадрате плюс 8 корень из: начало аргумента: t конец аргумента минус 3= минус t в квадрате плюс 8 корень из: начало аргумента: t конец аргумента плюс 3 конец совокупности . равносильно совокупность выражений корень из: начало аргумента: t конец аргумента =0, t в квадрате =3 конец совокупности . \underset t больше или равно 0 \mathop равносильно совокупность выражений t=0, t= корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента . конец совокупности .$ $|t в квадрате плюс 8 корень из: начало аргумента: t конец аргумента минус 3|=|t в квадрате минус 8 корень из: начало аргумента: t конец аргумента минус 3| равносильно$
$равносильно совокупность выражений t в квадрате плюс 8 корень из: начало аргумента: t конец аргумента минус 3=t в квадрате минус 8 корень из: начало аргумента: t конец аргумента минус 3, t в квадрате плюс 8 корень из: начало аргумента: t конец аргумента минус 3= минус t в квадрате плюс 8 корень из: начало аргумента: t конец аргумента плюс 3 конец совокупности . равносильно$
$равносильно совокупность выражений корень из: начало аргумента: t конец аргумента =0, t в квадрате =3 конец совокупности . \underset t больше или равно 0 \mathop равносильно совокупность выражений t=0, t= корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента . конец совокупности .$

Тогда

$совокупность выражений \ctg 2x=0, \ctg 2x= минус корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента конец совокупности . равносильно совокупность выражений 2x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи k, 2x= минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс Пи k конец совокупности . равносильно совокупность выражений x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 2 конец дроби , x= минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 12 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 2 конец дроби , конец совокупности .k принадлежит Z .$

б)  Для отбора корней воспользуемся тригонометрической окружностью (см. рис.). Подходят корни: $минус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 4 конец дроби ,$ $минус дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 12 конец дроби ,$ $минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби ,$ $минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 12 конец дроби ,$ $дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби ,$ $дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 12 конец дроби ,$ $дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 4 конец дроби ,$ $дробь: числитель: 11 Пи , знаменатель: 12 конец дроби .$

Ответ: а) $левая фигурная скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 2 конец дроби ; минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 12 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 2 конец дроби : k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $минус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 4 конец дроби ,$ $минус дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 12 конец дроби ,$ $минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби ,$ $минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 12 конец дроби ,$ $дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби ,$ $дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 12 конец дроби ,$ $дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 4 конец дроби ,$ $дробь: числитель: 11 Пи , знаменатель: 12 конец дроби .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б)	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	2

656542

а) $левая фигурная скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 2 конец дроби ; минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 12 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 2 конец дроби : k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $минус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 4 конец дроби ,$ $минус дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 12 конец дроби ,$ $минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби ,$ $минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 12 конец дроби ,$ $дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби ,$ $дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 12 конец дроби ,$ $дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 4 конец дроби ,$ $дробь: числитель: 11 Пи , знаменатель: 12 конец дроби .$

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 460

Методы алгебры: Введение замены

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	656542	а) $левая фигурная скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 2 конец дроби ; минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 12 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 2 конец дроби : k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $минус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 4 конец дроби ,$ $минус дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 12 конец дроби ,$ $минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби ,$ $минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 12 конец дроби ,$ $дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби ,$ $дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 12 конец дроби ,$ $дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 4 конец дроби ,$ $дробь: числитель: 11 Пи , знаменатель: 12 конец дроби .$