РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 15 № 656256 Добавить в вариант

Классификатор алгебры: Неравенства рациональные относительно показательной функции

Методы алгебры: Замена переменной, Разложение на множители

Неравенства. Неравенства рациональные относительно показательной функции

Решите неравенство $3 умножить на дробь: числитель: 8 в степени x минус 1, знаменатель: 2 в степени x минус 1 конец дроби плюс дробь: числитель: 20, знаменатель: 4 в степени x плюс 2 в степени x плюс 1 конец дроби меньше или равно 19 .$

Решение. Преобразуем исходное неравенство:

$3 умножить на дробь: числитель: 8 в степени x минус 1, знаменатель: 2 в степени x минус 1 конец дроби плюс дробь: числитель: 20, знаменатель: 4 в степени x плюс 2 в степени x плюс 1 конец дроби меньше или равно 19 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: 3 левая круглая скобка 2 в степени x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 4 в степени x плюс 2 в степени x плюс 1 правая круглая скобка , знаменатель: 2 в степени x минус 1 конец дроби плюс дробь: числитель: 20, знаменатель: 4 в степени x плюс 2 в степени x плюс 1 конец дроби меньше или равно 19 равносильно$
$равносильно система выражений 3 левая круглая скобка 4 в степени x плюс 2 в степени x плюс 1 правая круглая скобка плюс дробь: числитель: 20, знаменатель: 4 в степени x плюс 2 в степени x плюс 1 конец дроби меньше или равно 19, x не равно 0. конец системы .$

Решим первое неравенство полученной системы. Введем замену $t=4 в степени x плюс 2 в степени x плюс 1,$ $t больше 0.$ Имеем:

$3t плюс дробь: числитель: 20, знаменатель: t конец дроби меньше или равно 19 \underset t больше 0 \mathop равносильно 3t в квадрате минус 19t плюс 20 меньше или равно 0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка 3t минус 4 правая круглая скобка левая круглая скобка t минус 5 правая круглая скобка меньше или равно 0 равносильно система выражений t больше или равно дробь: числитель: 4, знаменатель: 3 конец дроби , t меньше или равно 5. конец системы .$ $3t плюс дробь: числитель: 20, знаменатель: t конец дроби меньше или равно 19 \underset t больше 0 \mathop равносильно$
$\mathop равносильно 3t в квадрате минус 19t плюс 20 меньше или равно 0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка 3t минус 4 правая круглая скобка левая круглая скобка t минус 5 правая круглая скобка меньше или равно 0 равносильно система выражений t больше или равно дробь: числитель: 4, знаменатель: 3 конец дроби , t меньше или равно 5. конец системы .$ $3t плюс дробь: числитель: 20, знаменатель: t конец дроби меньше или равно 19 \underset t больше 0 \mathop равносильно$
$\mathop равносильно 3t в квадрате минус 19t плюс 20 меньше или равно 0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка 3t минус 4 правая круглая скобка левая круглая скобка t минус 5 правая круглая скобка меньше или равно 0 равносильно$
$равносильно система выражений t больше или равно дробь: числитель: 4, знаменатель: 3 конец дроби , t меньше или равно 5. конец системы .$

Вернемся к исходной переменной. Решение неравенства $4 в степени x плюс 2 в степени x плюс 1 больше или равно дробь: числитель: 4, знаменатель: 3 конец дроби :$

$4 в степени x плюс 2 в степени x плюс 1 больше или равно дробь: числитель: 4, знаменатель: 3 конец дроби равносильно 3 левая круглая скобка 2 в степени x правая круглая скобка в квадрате плюс 3 умножить на 2 в степени x минус 1 больше или равно 0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка 2 в степени x плюс дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 21 конец аргумента плюс 3, знаменатель: 6 конец дроби правая круглая скобка левая круглая скобка 2 в степени x минус дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 21 конец аргумента минус 3, знаменатель: 6 конец дроби правая круглая скобка больше или равно 0 равносильно$
$равносильно 2 в степени x больше или равно дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 21 конец аргумента минус 3, знаменатель: 6 конец дроби ,$ $4 в степени x плюс 2 в степени x плюс 1 больше или равно дробь: числитель: 4, знаменатель: 3 конец дроби равносильно$
$равносильно 3 левая круглая скобка 2 в степени x правая круглая скобка в квадрате плюс 3 умножить на 2 в степени x минус 1 больше или равно 0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка 2 в степени x плюс дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 21 конец аргумента плюс 3, знаменатель: 6 конец дроби правая круглая скобка левая круглая скобка 2 в степени x минус дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 21 конец аргумента минус 3, знаменатель: 6 конец дроби правая круглая скобка больше или равно 0 равносильно$
$равносильно 2 в степени x больше или равно дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 21 конец аргумента минус 3, знаменатель: 6 конец дроби ,$

откуда $x больше или равно логарифм по основанию 2 левая круглая скобка дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 21 конец аргумента минус 3, знаменатель: 6 конец дроби правая круглая скобка .$

Решение неравенства $4 в степени x плюс 2 в степени x плюс 1 меньше или равно 5:$

$4 в степени x плюс 2 в степени x плюс 1 меньше или равно 5 равносильно левая круглая скобка 2 в степени x правая круглая скобка в квадрате плюс 2 в степени x минус 4 меньше или равно 0 равносильно$
$равносильно \quad левая круглая скобка 2 в степени x плюс дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 17 конец аргумента плюс 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка левая круглая скобка 2 в степени x минус дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 17 конец аргумента минус 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка меньше или равно 0 равносильно$
$равносильно 2 в степени x меньше или равно дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 17 конец аргумента минус 1, знаменатель: 2 конец дроби ,$ $4 в степени x плюс 2 в степени x плюс 1 меньше или равно 5 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка 2 в степени x правая круглая скобка в квадрате плюс 2 в степени x минус 4 меньше или равно 0 равносильно$
$равносильно \quad левая круглая скобка 2 в степени x плюс дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 17 конец аргумента плюс 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка левая круглая скобка 2 в степени x минус дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 17 конец аргумента минус 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка меньше или равно 0 равносильно$
$равносильно 2 в степени x меньше или равно дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 17 конец аргумента минус 1, знаменатель: 2 конец дроби ,$

откуда $x меньше или равно логарифм по основанию 2 левая круглая скобка дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 17 конец аргумента минус 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка .$

Учитывая условие $x не равно 0,$ получаем решение исходного неравенства: $левая квадратная скобка логарифм по основанию 2 дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 21 конец аргумента минус 3, знаменатель: 6 конец дроби ; 0 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 0 ; логарифм по основанию 2 дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 17 конец аргумента минус 1, знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .$

Ответ: $левая квадратная скобка логарифм по основанию 2 дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 21 конец аргумента минус 3, знаменатель: 6 конец дроби ; 0 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 0 ; логарифм по основанию 2 дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 17 конец аргумента минус 1, знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	2
Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек $логарифм по основанию 2 дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 21 конец аргумента минус 3, знаменатель: 6 конец дроби$ и/или $логарифм по основанию 2 дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 17 конец аргумента минус 1, знаменатель: 2 конец дроби .$ ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

656256

$левая квадратная скобка логарифм по основанию 2 дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 21 конец аргумента минус 3, знаменатель: 6 конец дроби ; 0 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 0 ; логарифм по основанию 2 дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 17 конец аргумента минус 1, знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .$

Классификатор алгебры: Неравенства рациональные относительно показательной функции

Методы алгебры: Замена переменной, Разложение на множители

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	656256	$левая квадратная скобка логарифм по основанию 2 дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 21 конец аргумента минус 3, знаменатель: 6 конец дроби ; 0 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 0 ; логарифм по основанию 2 дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 17 конец аргумента минус 1, знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .$