РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 19 № 654883 Добавить в вариант

Классификатор алгебры: Числа и их свойства

Числа и их свойства. Числа и их свойства

Пусть $\overlineml$ обозначает двузначное число, равное $10 m плюс l,$ где m и l  — цифры, $m не равно q 0.$

a)  Существуют ли такие различные ненулевые цифры a, b, c и d, что $\overlineab умножить на \overlinecd минус \overlineba умножить на \overlinedc=99?$

б)  Существуют ли такие различные ненулевые цифры a, b, c и d, что $\overlinea b умножить на \overlinec d минус \overlineb a умножить на \overlined c=1485,$ если среди цифр a, b, c и d есть цифра 5?

в)  Какое наибольшее значение может принимать выражение $\overlinea b умножить на \overlinec d минус \overlineb a умножить на \overlined c,$ если цифры a, b, c и d различны и среди них есть цифры 4 и 6?

Решение. а)  Да. Действительно, поскольку

$\overlinea b умножить на \overlinec d минус \overlineb a умножить на \overlined c= левая круглая скобка 10 a плюс b правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка 10 c плюс d правая круглая скобка минус левая круглая скобка 10 b плюс a правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка 10 d плюс c правая круглая скобка =99 умножить на левая круглая скобка a c минус b d правая круглая скобка ,$ $\overlinea b умножить на \overlinec d минус \overlineb a умножить на \overlined c=$
$= левая круглая скобка 10 a плюс b правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка 10 c плюс d правая круглая скобка минус левая круглая скобка 10 b плюс a правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка 10 d плюс c правая круглая скобка =99 умножить на левая круглая скобка a c минус b d правая круглая скобка ,$ $\overlinea b умножить на \overlinec d минус \overlineb a умножить на \overlined c=$
$= левая круглая скобка 10 a плюс b правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка 10 c плюс d правая круглая скобка минус левая круглая скобка 10 b плюс a правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка 10 d плюс c правая круглая скобка =$
$=99 умножить на левая круглая скобка a c минус b d правая круглая скобка ,$

нужно подобрать такие попарно различные ненулевые цифры a, b, c и d, чтобы $a c минус b d=1.$ Это верно, например, при a  =  1, b  =  2, c  =  9 и d  =  4.

б)  Докажем, что это невозможно. Имеем $\overlineab умножить на \overlinecd минус \overlineba умножить на \overlined c=99 умножить на левая круглая скобка ac минус bd правая круглая скобка .$ Значит, если $\overlineab умножить на \overlinecd минус \overlineba умножить на \overlined c=1485,$ то $99 умножить на левая круглая скобка ac минус bd правая круглая скобка =1485=99 умножить на 15$ и $a c минус b d=15.$ Поскольку одна из цифр $a, b, c$ и d равна 5 , то одно из произведений ac или bd делится на 5 , а значит, и другое произведение тоже должно делиться на 5. Это невозможно, так как в этом случае среди цифр a, b, c и d есть по крайней мере две цифры 5.

в)  Как показано выше, имеем $\overlinea b умножить на \overlinec d минус \overlineb a умножить на \overlined c=99 умножить на левая круглая скобка a c минус b d правая круглая скобка .$ Рассмотрим все возможные случаи, когда среди цифр $a, b, c$ и d есть цифры 4 и 6. Если цифры 4 и 6  — это a и c, то $ac минус bd меньше или равно 4 умножить на 6 минус 1 умножить на 2=22.$ Если цифры 4 и 6  — это b и d, то $ac минус bd меньше или равно 8 умножить на 9 минус 4 умножить на 6=48.$ Если цифра 4  — это a или c, а цифра 6  — это b или d, то

$ac минус bd меньше или равно 4 умножить на 9 минус 6 умножить на 1=30.$

Если цифра 6  — это a или c, а цифра 4  — это b или d, то

$ac минус bd меньше или равно 6 умножить на 9 минус 4 умножить на 1=50.$

Значит, наибольшее возможное значение выражения $\overlineab умножить на \overlinecd минус \overlineba умножить на \overlined c$ равно $99 умножить на 50=4950,$ оно достигается при a  =  6, b  =  4, c  =  9 и d  =  1.

Ответ: а)  да; б)  нет; в)   $99 умножить на 50 = 4950.$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а), б) и в)	4
Обоснованно получен верный ответ в пункте в), и обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б)	3
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а) и б) ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте в)	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б)	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

Ответ: а)  да; б)  нет; в)   $99 умножить на 50 = 4950.$

654883

а)  да; б)  нет; в)   $99 умножить на 50 = 4950.$

Классификатор алгебры: Числа и их свойства

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	654883	а)  да; б)  нет; в)   $99 умножить на 50 = 4950.$