РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип Д16 C5 № 654404 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 454

Сложные практические задачи. Практические задачи

Фёдор отложил 15 января 2023 года определённую сумму денег и планирует откладывать такую же сумму денег 15 июля и 15 января каждого года для того, чтобы через некоторое время купить пакет акций. Первого января 2023 года пакет акций стоил 132 000 рублей. Первого января и первого июля каждого года пакет акций дорожает на 30%. Какую наименьшую сумму нужно Фёдору откладывать каждые полгода, чтобы через некоторое время купить желаемый пакет акций?

Решение. Пусть сумма, которую откладывает Фёдор, равна x рублей, тогда через n полугодий у него накопится $левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка x$  рублей, за это время цена пакета акций увеличится в $1,3 в степени n$  раз и станет равна $132000 умножить на 1,3 в степени n$  рублей. Фёдор сможет купить желаемый пакет акций, если будет выполнено условие

$левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка x больше или равно 132000 умножить на 1,3 в степени n равносильно x больше или равно дробь: числитель: 132000 умножить на 1,3 в степени n , знаменатель: n плюс 1 конец дроби .$

Рассмотрим функцию $f левая круглая скобка n правая круглая скобка = дробь: числитель: 132000 умножить на 1,3 в степени n , знаменатель: n плюс 1 конец дроби ,$ где $n больше 0,$ и исследуем её с помощью производной:

$f' левая круглая скобка n правая круглая скобка =132000 умножить на дробь: числитель: 1,3 в степени n умножить на \ln1,3 умножить на n минус 1,3 в степени n , знаменатель: левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка в квадрате конец дроби = 132000 умножить на дробь: числитель: 1,3 в степени n левая круглая скобка n умножить на \ln1,3 минус 1 правая круглая скобка , знаменатель: левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка в квадрате конец дроби .$

Найдём стационарную точку, решив уравнение $f' левая круглая скобка n правая круглая скобка =0:$

$132000 умножить на дробь: числитель: 1,3 в степени n левая круглая скобка n умножить на \ln1,3 минус 1 правая круглая скобка , знаменатель: левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка в квадрате конец дроби =0 \underset n больше 0 \mathop равносильно n умножить на \ln1,3 минус 1=0 равносильно n= дробь: числитель: 1, знаменатель: \ln1,3 конец дроби .$

При $0 меньше n меньше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: \ln1,3 конец дроби$ функция $f левая круглая скобка n правая круглая скобка$ убывает, при $n больше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: \ln1,3 конец дроби$   —  возрастает. Точка $n= дробь: числитель: 1, знаменатель: \ln1,3 конец дроби$ является точкой минимума, в ней функция принимает наименьшее значение. Заметим, что $дробь: числитель: 1, знаменатель: \ln1,3 конец дроби = логарифм по основанию левая круглая скобка 1,3 правая круглая скобка e,$ и что

$2,197=1,3 в кубе меньше e меньше 1,3 в степени 4 =2,8561,$

откуда $3 меньше дробь: числитель: 1, знаменатель: \ln1,3 конец дроби меньше 4.$ Значит, при натуральных значениях n наименьшим значением функции $f левая круглая скобка n правая круглая скобка$ будет меньшее из двух значений $f левая круглая скобка 3 правая круглая скобка ,$ или $f левая круглая скобка 4 правая круглая скобка .$ Найдём эти значения:

$f левая круглая скобка 3 правая круглая скобка = дробь: числитель: 132000 умножить на 1,3 в кубе , знаменатель: 3 плюс 1 конец дроби = дробь: числитель: 132000 умножить на 2,197, знаменатель: 4 конец дроби =72501;$

$f левая круглая скобка 4 правая круглая скобка = дробь: числитель: 132000 умножить на 1,3 в степени 4 , знаменатель: 4 плюс 1 конец дроби = дробь: числитель: 132000 умножить на 2,8561, знаменатель: 5 конец дроби =75401,04.$

Таким образом, наименьшее значение x, при котором выполняется неравенство $x больше или равно дробь: числитель: 132000 умножить на 1,3 в степени n , знаменатель: n плюс 1 конец дроби$ равно 72 501.

Ответ: 72 501 рублей.

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3
Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки	2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше	0
Максимальный балл	3

Ответ: 72 501 рублей.

654404

72 501 рублей.

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 454

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	654404	72 501 рублей.