РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 15 № 654403 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 454

Классификатор алгебры: Неравенства с логарифмами по переменному основанию, Неравенства смешанного типа

Методы алгебры: Замена переменной, Использование симметрий, оценок, монотонности

Неравенства. Логарифмы и показательные выражения

Решите неравенство: $5 в степени левая круглая скобка логарифм по основанию x 2 правая круглая скобка умножить на логарифм по основанию 2 x плюс 5 в степени левая круглая скобка логарифм по основанию 2 x правая круглая скобка умножить на логарифм по основанию x 2 меньше или равно 10.$

Решение. Пусть $логарифм по основанию 2 x=t,$ тогда

$5 в степени левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: t конец дроби правая круглая скобка умножить на t плюс 5 в степени t умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: t конец дроби меньше или равно 10. \qquad левая круглая скобка * правая круглая скобка$

Для $t=0$ неравенство не определено. Если $t меньше 0,$ то левая часть неравенства (⁎) отрицательна и неравенство верно. Если $t больше 0,$ то по неравенству о средних и свойству двух взаимно обратных чисел

$5 в степени левая круглая скобка \tfrac1t правая круглая скобка умножить на t плюс 5 в степени t умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: t конец дроби больше или равно 2 корень из: начало аргумента: 5 в степени левая круглая скобка \tfrac1t конец аргумента умножить на t умножить на 5 в степени t умножить на \tfrac1t правая круглая скобка =2 корень из: начало аргумента: 5 в степени левая круглая скобка \tfrac1t плюс t конец аргумента правая круглая скобка больше или равно 2 корень из: начало аргумента: 5 в степени левая круглая скобка \tfrac11 плюс 1 конец аргумента правая круглая скобка =2 корень из: начало аргумента: 5 в квадрате конец аргумента =10,$

а потому неравенство (⁎) выполняется только при $t=1.$ Таким образом, $t меньше 0$ или $t=1.$

Вернёмся к исходной переменной:

$совокупность выражений логарифм по основанию 2 x меньше 0, логарифм по основанию 2 x=1 конец совокупности . равносильно совокупность выражений 0 меньше x меньше 1, x=2. конец совокупности .$

Ответ: $левая круглая скобка 0; 1 правая круглая скобка \cup левая фигурная скобка 2 правая фигурная скобка .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	2
Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек, ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

Ответ: $левая круглая скобка 0; 1 правая круглая скобка \cup левая фигурная скобка 2 правая фигурная скобка .$

654403

$левая круглая скобка 0; 1 правая круглая скобка \cup левая фигурная скобка 2 правая фигурная скобка .$

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 454

Классификатор алгебры: Неравенства с логарифмами по переменному основанию, Неравенства смешанного типа

Методы алгебры: Замена переменной, Использование симметрий, оценок, монотонности

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	654403	$левая круглая скобка 0; 1 правая круглая скобка \cup левая фигурная скобка 2 правая фигурная скобка .$