Ре­ше­ние. а)  Пусть точка O  — центр опи­сан­ной сферы. Тогда точка O  — се­ре­ди­на AB и, сле­до­ва­тель­но, OA  =  OB  =  OC  =  OF, то есть в тре­уголь­ни­ках ABC и ABF ме­ди­а­на равна по­ло­ви­не сто­ро­ны, к ко­то­рой про­ве­де­на. Сле­до­ва­тель­но, эти тре­уголь­ни­ки пря­мо­уголь­ные с вер­ши­на­ми при пря­мом угле C и F со­от­вет­ствен­но.

б)  Пло­щадь по­верх­но­сти опи­сан­ной сферы равна 16π, по­это­му ее ра­ди­ус

и AB  =  4. Пусть точки H и K  — про­ек­ции точек F и T на плос­кость ABC со­от­вет­ствен­но. Плос­ко­сти ABF и ABC пер­пен­ди­ку­ляр­ны, по­это­му обе эти точки лежат на линии их пе­ре­се­че­ния  — AB. За­ме­тим, что точка  K, как и точка  T, рав­но­уда­ле­на от точек B и M, сле­до­ва­тель­но, тре­уголь­ник BKM рав­но­бед­рен­ный, пусть от­ре­зок KL  — его вы­со­та. Тогда пря­мые KL и AC па­рал­лель­ны. Пусть те­перь точка G  — про­ек­ция точки C на плос­кость ABF. Плос­ко­сти ABC и ABF пер­пен­ди­ку­ляр­ны, по­это­му точка G лежит на линии их пе­ре­се­че­ния AB. Это озна­ча­ет, что пря­мая AB яв­ля­ет­ся про­ек­ци­ей пря­мой BC на плос­кость ABF и угол CBA равен углу между пря­мой BC и плос­ко­стью ABF. Таким об­ра­зом, то есть AC  =  2BC. На­хо­дим:

зна­чит,

Тре­уголь­ни­ки BKL и ABC по­доб­ны, сле­до­ва­тель­но,

Тре­уголь­ни­ки ABC, BFH ABH и ATK по­доб­ны, сле­до­ва­тель­но,

Таким об­ра­зом, объем пи­ра­ми­ды АСМT равен

Ответ: б) 8.