РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 13 № 653512 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 452

Классификатор алгебры: Тригонометрические уравнения, решаемые разложением на множители

Уравнения. Тригонометрические уравнения, исследование ОДЗ

а)  Решите уравнение $левая круглая скобка синус 2 x минус синус x правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента минус корень из: начало аргумента: минус 2 \ctg x конец аргумента правая круглая скобка = 0.$

б)  Найдите все корни уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка минус 7 Пи ; минус дробь: числитель: 11 Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .$

Решение. а)  Решим уравнение:

$левая круглая скобка синус 2 x минус синус x правая круглая скобка левая круглая скобка корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента минус корень из: начало аргумента: минус 2 \ctg x конец аргумента правая круглая скобка = 0 равносильно синус x левая круглая скобка 2 косинус x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка корень из 2 минус корень из: начало аргумента: минус дробь: числитель: 2 косинус x, знаменатель: синус x конец дроби конец аргумента правая круглая скобка =0 \underset синус x не равно 0 \mathop равносильно$
$\mathop равносильно левая круглая скобка 2 косинус x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 1 минус корень из: начало аргумента: минус \ctg x конец аргумента правая круглая скобка =0 равносильно совокупность выражений система выражений косинус x= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби , \ctg x меньше или равно 0, конец системы . \ctg x= минус 1 конец совокупности . равносильно совокупность выражений x= минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k , x= минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс Пи k, конец совокупности . k принадлежит Z .$ $левая круглая скобка синус 2 x минус синус x правая круглая скобка левая круглая скобка корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента минус корень из: начало аргумента: минус 2 \ctg x конец аргумента правая круглая скобка = 0 равносильно$
$равносильно синус x левая круглая скобка 2 косинус x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка корень из 2 минус корень из: начало аргумента: минус дробь: числитель: 2 косинус x, знаменатель: синус x конец дроби конец аргумента правая круглая скобка =0 \underset синус x не равно 0 \mathop равносильно$
$\mathop равносильно левая круглая скобка 2 косинус x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 1 минус корень из: начало аргумента: минус \ctg x конец аргумента правая круглая скобка =0 равносильно совокупность выражений система выражений косинус x= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби , \ctg x меньше или равно 0, конец системы . \ctg x= минус 1 конец совокупности . равносильно совокупность выражений x= минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k , x= минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс Пи k, конец совокупности . k принадлежит Z .$ $левая круглая скобка синус 2 x минус синус x правая круглая скобка левая круглая скобка корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента минус корень из: начало аргумента: минус 2 \ctg x конец аргумента правая круглая скобка = 0 равносильно$
$равносильно синус x левая круглая скобка 2 косинус x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка корень из 2 минус корень из: начало аргумента: минус дробь: числитель: 2 косинус x, знаменатель: синус x конец дроби конец аргумента правая круглая скобка =0 \underset синус x не равно 0 \mathop равносильно$
$\mathop равносильно левая круглая скобка 2 косинус x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 1 минус корень из: начало аргумента: минус \ctg x конец аргумента правая круглая скобка =0 равносильно$
$равносильно совокупность выражений система выражений косинус x= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби , \ctg x меньше или равно 0, конец системы . \ctg x= минус 1 конец совокупности . равносильно совокупность выражений x= минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k , x= минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс Пи k, конец совокупности . k принадлежит Z .$

б)  Отберем корни, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка минус 7 Пи ; минус дробь: числитель: 11 Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка ,$ при помощи тригонометрической окружности (см. рис). Подходят: $минус дробь: числитель: 19 Пи , знаменатель: 3 конец дроби ,$ $минус дробь: числитель: 25 Пи , знаменатель: 4 конец дроби .$

Ответ: а) $левая фигурная скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k; минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс Пи k : k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $минус дробь: числитель: 19 Пи , знаменатель: 3 конец дроби ,$ $минус дробь: числитель: 25 Пи , знаменатель: 4 конец дроби .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б)	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	2

653512

а) $левая фигурная скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k; минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс Пи k : k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $минус дробь: числитель: 19 Пи , знаменатель: 3 конец дроби ,$ $минус дробь: числитель: 25 Пи , знаменатель: 4 конец дроби .$

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 452

Классификатор алгебры: Тригонометрические уравнения, решаемые разложением на множители

Методы алгебры: Формулы двойного угла

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	653512	а) $левая фигурная скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k; минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс Пи k : k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $минус дробь: числитель: 19 Пи , знаменатель: 3 конец дроби ,$ $минус дробь: числитель: 25 Пи , знаменатель: 4 конец дроби .$