РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

В шахматном турнире участвовали команды трех школ (по одной команде на каждую школу). Все команды имели одинаковое число игроков. При встрече двух команд каждый участник команды сыграл одну партию с членом команды соперников. За выигрыш партии команде присуждалось 2 очка, за ничью  — одно очко, за проигрыш  — 0 очков. Победительница встречи двух команд определялась по сумме набранных очков. После проведения всех трех встреч набранные каждой командой очки суммировались, и определялась команда-победительница турнира.

а)  Могла ли команда, победившая каждую команду соперников, занять последнее место по итогам турнира?

б)  Могла ли команда, победившая каждую команду соперников, не стать победителем турнира?

в)  Первая команда, играя со второй командой, 2 партии проиграла и 3 партии свела вничью, а играя с третьей командой, 2 партии проиграла и 2 свела вничью. Вторая команда, играя с третьей командой, 2 партии проиграла и 4 свела вничью. Все команды набрали разное количество очков. Какое наименьшее число игроков могло быть в каждой команде и как в этом случае распределились места по итогам турнира?

Решение. Пусть в каждой команде было n игроков. Тогда каждая встреча команд состояла из n партий, в которых распределялось 2n очков (в каждой партии в сумме противники всегда получают два очка). Поэтому во всех партиях вместе распределялось 6n очков. Для победы в встрече команд нужно набрать больше половины очков, то есть минимум n + 1.

а)  Такая команда набрала минимум $n плюс 1 плюс n плюс 1 = 2 n плюс 2$ очков. Если остальные набрали не меньше, то сумма набранных очков не меньше 6n + 6  — противоречие.

б)  Да. Пусть, например, все встречи команда A с противниками закончились на всех досках вничью, кроме победы на одной доске, а во встрече команд B и C команда B выиграла все партии. Тогда A победила во всех встречах и имеет 2n + 2 очка, а B имеет

$2n плюс n минус 1 = 3 n минус 1 больше 2 n плюс 2$

при $n больше или равно 4.$ Значит, выиграла B.

в)  Ясно что $n больше или равно 6.$ Первая команда во встрече со второй набрала

$левая круглая скобка n минус 5 правая круглая скобка умножить на 2 плюс 3 = 2n минус 7,$

а вторая набрала 7 очков. Аналогично первая против третьей первая набрала

$левая круглая скобка n минус 4 правая круглая скобка умножить на 2 плюс 2 = 2n минус 6,$

а третья набрала 6 очков. Наконец вторая против третьей набрала

$левая круглая скобка n минус 6 правая круглая скобка умножить на 2 плюс 4 = 2n минус 8,$

а та набрала 8 очков.

Итого первая команда имеет $2n минус 7 плюс 2 n минус 6 = 4 n минус 13,$ вторая $7 плюс 2n минус 8 = 2n минус 1$ и третья $8 плюс 6 = 14.$ Первые два результата нечетны и с третьим не совпадают. Если $4n минус 13 = 2n минус 1,$ то n  =  6  — этот случай не годится. Минимальное оставшееся n равно 7. Для него у первой команды 15, у второй  — 13, у третьей  — 14, значит, первая победила, а третья заняла второе место.

Ответ: а)  нет; б)  да; в)  первая, третья, вторая.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а), б) и в).	4
Обоснованно получен верный ответ в пункте в) и обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б).	3
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а) и б) ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте в)	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б).	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

№ п/п	№ задания	Ответ
1	652643	а)  нет; б)  да; в)  первая, третья, вторая.

Ключ