PDF-версии: 
В правильной треугольной призме точка M лежит на высоте основания BD, причем 
точка N лежит на диагонали CB1 боковой грани CC1B1B. Прямые
а) Докажите, что 
б) Найдите расстояние от точки М до плоскости ACN, если сторона основания призмы равна 5, а высота равна 10.
Решение. а) Точки A, A1, M и N лежат в одной плоскости, содержащей прямую AA1 Назовем эту плоскость α. Пусть K — точка пересечения прямой AM и, следовательно, указанной плоскости с ребром BC. Прямая KL, параллельная прямой AA1, также лежит в
Из подобия треугольников CKN и CBB1 следует, что
б) Расстояние от точки M до плоскости ACN равно длине высоты HM пирамиды AMCN. Треугольники CNK и CBB1 подобны, воспользуемся этим при вычислении объема пирамиды AMCN. Находим:
следовательно,
значит, 
откуда
Треугольник ACB1 равнобедренный, тогда
Находим:
откуда
Таким образом, расстояние от точки М до плоскости ACN равно
Ответ: б) 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |